Questions mathématiques diverses

Question 11:
Soit $\alpha$, $\beta$ deux solutions de l'équation $x^2+px+1=0$ et $\gamma$, $\delta$ deux solutions de l'équation $x^2+qx+1=0$
Caculer, en fonction de $p$ et $q$, le réel $A$ tel que :
$A=(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)(\alpha+\delta)(\beta+\delta)$

Question 12:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2^k+4^k+6^k+...+(2n)^k}{n^{k+1}}$ où $k\neq -1$
(On pourra utiliser la somme de RIEMANN)

Question 13:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\left({\dfrac{n!}{(mn)^n}}\right)^\frac{1}{n}$ où $m$ est un réel non nul.

Question 14:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{x \to 0}x\left({E\left({\dfrac{1}{x}}\right)+E\left({\dfrac{2}{x}}\right)+...+E\left({\dfrac{50}{x}}\right)}\right)$
où $E$ désigne la fonction partie entière.

Question 15:
Soit $f$ une fonction telle que pour tout réel $x$ non nul,
$f(x)+2f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=3x$
Déterminer les réels $x$ tels que $f(-x)=f(x)$.

Question 16:
Soit la fonction $f$ définie par :
$f(x)=\dfrac{\sin x+\sin 2x}{\cos x+\cos 2x}$
Déterminer la période de $f$.

Question 17:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\left({\dfrac{1}{n}+\dfrac{n^2}{(n+1)^3}+\dfrac{n^2}{(n+2)^3}+...+\dfrac{1}{8n}}\right)$

Question 18:
Calculer la somme suivante :
$S=\sum\limits_{k=1}^{10}{\left({\sin \dfrac{2k\pi}{11}-i\cos \dfrac{2k\pi}{11}}\right)}$

Question 19:
Pour tout $k\in \left\{{0,1,2,3,4,5,6}\right\}$ on note $z_k$ les solutions de l'équation $(z+1)^7+z^7=0$.
Calculer $\sum\limits_{k=0}^{6}{\real(z_k)}$

Question 20:
Soit $a$ un réel tel que : $\dfrac{a}{a^2-11a+1}=-\dfrac{1}{2}$
Sans calculer les valeurs possibles de a, montrer que $a^4+\dfrac{1}{a^4}=6239$.