Questions mathématiques diverses

Question 20:
Soit $a$ un réel tel que : $\dfrac{a}{a^2-11a+1}=-\dfrac{1}{2}$
Sans calculer les valeurs possibles de a, montrer que $a^4+\dfrac{1}{a^4}=6239$.

Réponse 20:
Il est évident que $a\neq 0$
$\dfrac{a}{a^2-11a+1}=-\dfrac{1}{2}$ $\iff \dfrac{a^2-11a+1}{a}=-2$ $\iff a+\dfrac{1}{a}-11=-2$ $\iff \boxed{a+\dfrac{1}{a}=9}$
$a^2+\dfrac{1}{a^2}$ $=\left({a+\dfrac{1}{a}}\right)^2-2=79$ donc $\boxed{a^2+\dfrac{1}{a^2}=79}$
Alors $a^4+\dfrac{1}{a^4}$ $=\left({a^2+\dfrac{1}{a^2}}\right)^2-2$ $=79^2-2=6239$