Questions mathématiques diverses

Question 17:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\left({\dfrac{1}{n}+\dfrac{n^2}{(n+1)^3}+\dfrac{n^2}{(n+2)^3}+...+\dfrac{1}{8n}}\right)$

Réponse 17:
$$\begin{align*} &\lim\limits_{n \to +\infty}\left({\dfrac{1}{n}+\dfrac{n^2}{(n+1)^3}+\dfrac{n^2}{(n+2)^3}+...+\dfrac{1}{8n}}\right)\\ =&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\left({1+\dfrac{n^3}{(n+1)^3}+\dfrac{n^3}{(n+2)^3}+...+\dfrac{n^3}{(n+n)^3}}\right)\\ =&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{n^3}{(n+k)^3}}\\ =&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\sum\limits_{k=0}^{n}{\dfrac{1}{(1+\frac{k}{n})^3}}\\ =&\int_{0}^{1}{\dfrac{1}{(1+x)^3}dx}\\ =&\left[{-\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{(1+x)^2}}\right]_0^1=\dfrac{3}{8} \end{align*}$$