Questions mathématiques diverses

Question 15:
Soit ff une fonction telle que pour tout réel xx non nul,
f(x)+2f(1x)=3xf(x)+2f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=3x
Déterminer les réels xx tels que f(−x)=f(x)f(-x)=f(x).
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Soit $f$ une fonction telle que pour tout réel $x$ non nul, 

$f(x)+2f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=3x$

Déterminer les réels $x$ tels que $f(-x)=f(x)$.
Réponse 15:
Pour tout réel xx non nul, 1x\dfrac{1}{x} est aussi non nul donc on peut remplacer xx par 1x\dfrac{1}{x}
D'où f(1x)+2f(x)=3xf\left({\dfrac{1}{x}}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}
{f(x)+2f(1x)=3xf(1x)+2f(x)=3x\left\{{\begin{aligned}&{f(x)+2f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=3x}\\&{f\left({\dfrac{1}{x}}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}}\end{aligned}}\right.   ⟺  {2f(x)+4f(1x)=6xf(1x)+2f(x)=3x\iff \left\{{\begin{aligned}&{2f(x)+4f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=6x}\\&{f\left({\dfrac{1}{x}}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}}\end{aligned}}\right.   ⟺  {3f(1x)=6x−3xf(x)=3x−2f(1x)\iff \left\{{\begin{aligned}&{3f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=6x-\dfrac{3}{x}}\\&{f(x)=3x-2f\left({\dfrac{1}{x}}\right)}\end{aligned}}\right.   ⟺  {f(1x)=2x−1xf(x)=−x+2x\iff \left\{{\begin{aligned}&{f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=2x-\dfrac{1}{x}}\\&{f(x)=-x+\dfrac{2}{x}}\end{aligned}}\right.
f(x)=f(−x)f(x)=f(-x)   ⟺  −x+2x=x−2x\iff -x+\dfrac{2}{x}=x-\dfrac{2}{x}   ⟺  2x=4x\iff 2x=\dfrac{4}{x}   ⟺  x2=2\iff x^2=2   ⟺  x=2\iff x=\sqrt{2} ou x=−2x=-\sqrt{2}

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