Questions mathématiques diverses

Question 15:
Soit $f$ une fonction telle que pour tout réel $x$ non nul,
$f(x)+2f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=3x$
Déterminer les réels $x$ tels que $f(-x)=f(x)$.

Réponse 15:
Pour tout réel $x$ non nul, $\dfrac{1}{x}$ est aussi non nul donc on peut remplacer $x$ par $\dfrac{1}{x}$
D'où $f\left({\dfrac{1}{x}}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}$
$\left\{{\begin{aligned}&{f(x)+2f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=3x}\\&{f\left({\dfrac{1}{x}}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{2f(x)+4f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=6x}\\&{f\left({\dfrac{1}{x}}\right)+2f(x)=\dfrac{3}{x}}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{3f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=6x-\dfrac{3}{x}}\\&{f(x)=3x-2f\left({\dfrac{1}{x}}\right)}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{f\left({\dfrac{1}{x}}\right)=2x-\dfrac{1}{x}}\\&{f(x)=-x+\dfrac{2}{x}}\end{aligned}}\right.$
$f(x)=f(-x)$ $\iff -x+\dfrac{2}{x}=x-\dfrac{2}{x}$ $\iff 2x=\dfrac{4}{x}$ $\iff x^2=2$ $\iff x=\sqrt{2}$ ou $x=-\sqrt{2}$