Questions mathématiques diverses

Question 13:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\left({\dfrac{n!}{(mn)^n}}\right)^\frac{1}{n}$ où $m$ est un réel non nul.

Réponse 13:
Posons $u_n=\left({\dfrac{n!}{(mn)^n}}\right)^{\frac{1}{n}}$ $$\begin{align*} &\lim\limits_{n \to +\infty}\ln u_n\\ =&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\ln\left({\dfrac{n!}{(mn)^n}}\right)\\ =&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\left({\ln\left({\dfrac{1}{m^n}}\right)+\ln\left({\dfrac{n!}{n^n}}\right)}\right)\\ =&-\ln m+\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}{\ln\left({\dfrac{k}{n}}\right)}\\ =&-\ln m+\int_{0}^{1}{\ln x\,dx}\\ =&-\ln m-1=-\ln m-\ln e\\ =&-\ln(em) \end{align*}$$ Donc $\lim\limits_{n \to +\infty}u_n=e^{-\ln(em)}=\dfrac{1}{em}$

Remarque

$\int_{0}^{1}{\ln x\,dx}=\lim\limits_{\epsilon \to 0^+}\int_{\epsilon}^{1}{\ln x\,dx}=\lim\limits_{\epsilon \to 0^+}\left[{x\ln x-x}\right]_{\epsilon}^{1}=-1$