Questions mathématiques diverses

Question 11:
Soit $\alpha$, $\beta$ deux solutions de l'équation $x^2+px+1=0$ et $\gamma$, $\delta$ deux solutions de l'équation $x^2+qx+1=0$
Caculer, en fonction de $p$ et $q$, le réel $A$ tel que :
$A=(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)(\alpha+\delta)(\beta+\delta)$

Réponse 11:
On a $\alpha+\beta=-p$ , $\alpha\beta=1$ , $\gamma+\delta=-q$ et $\gamma\delta=1$
$\gamma$, $\delta$ deux solutions de l'équation $x^2+qx+1=0$ donc $\gamma^2=-1-\gamma q$ et $\delta^2=-1-\delta q$

• $(\alpha-\gamma)(\beta-\gamma)$ $=\alpha\beta-\gamma(\alpha+\beta)+\gamma^2$ $=1+\gamma p+\gamma^2$ $=1+\gamma p-1-\gamma q$ $=\gamma(p-q)$
• $(\alpha+\delta)(\beta+\delta)$ $=\alpha\beta+\delta(\alpha+\beta)+\delta^2$ $=1-\delta p+\delta^2$ $=1-\delta p-1-\delta q$ $=-\delta(p+q)$

Donc $A=-\gamma\delta(p^2-q^2)$ $=q^2-p^2$