Questions mathématiques diverses

Question 12:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2^k+4^k+6^k+...+(2n)^k}{n^{k+1}}$ où $k\neq -1$
(On pourra utiliser la somme de RIEMANN)

Réponse 12:
$$\begin{align*} &\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2^k+4^k+6^k+...+(2n)^k}{n^{k+1}}\\ =&\lim\limits_{n \to +\infty}\dfrac{2^k(1^k+2^k+3^k+...+n^k)}{n^{k+1}}\\ =&\lim\limits_{n \to +\infty}2^k\left({\dfrac{1}{n}\sum_{p=1}^{n}{\left({\dfrac{p}{n}}\right)^k}}\right)\\ =&2^k\int_{0}^{1}{x^kdx}\\ =&2^k\left[{\dfrac{x^{k+1}}{k+1}}\right]_{0}^{1}\\ =&\dfrac{2^k}{k+1} \end{align*}$$