Questions mathématiques diverses

Question 19:
Pour tout $k\in \left\{{0,1,2,3,4,5,6}\right\}$ on note $z_k$ les solutions de l'équation $(z+1)^7+z^7=0$.
Calculer $\sum\limits_{k=0}^{6}{\real(z_k)}$

Réponse 19:
Posons $z=x+iy$ où $x,y$ des réels.
$(z+1)^7+z^7=0$ $\iff (z+1)^7=-z^7$ $\Longrightarrow \left|{z+1}\right|^7=\left|{z}\right|^7$ $\Longrightarrow \left|{z+1}\right|=\left|{z}\right|$ $\iff (x+1)^2+y^2=x^2+y^2$ $\iff 2x+1=0$ $\iff x=-\dfrac{1}{2}$
Donc $\forall k\in\left\{{0,1,2,3,4,5,6} \right\},\real (z_k)=-\dfrac{1}{2}$
Alors $\sum\limits_{k=0}^{6}{\real(z_k)}=7\times\left({-\dfrac{1}{2}}\right)=-\dfrac{7}{2}$