Questions mathématiques diverses

Question 18:
Calculer la somme suivante :
$S=\sum\limits_{k=1}^{10}{\left({\sin \dfrac{2k\pi}{11}-i\cos \dfrac{2k\pi}{11}}\right)}$

Réponse 18:
$$\begin{align*} S&=\sum\limits_{k=1}^{10}{\left({\sin\dfrac{2k\pi}{11}-i\cos\dfrac{2k\pi}{11}}\right)}\\ &=\sum\limits_{k=1}^{10}{-i\left({\cos\dfrac{2k\pi}{11}+i\sin\dfrac{2k\pi}{11}}\right)}\\ &=-i\sum\limits_{k=1}^{10}{e^{i\frac{2k\pi}{11}}}\\ &=-i\sum\limits_{k=0}^{10}{e^{i\frac{2k\pi}{11}}}+i\\ &=i\left({1-\sum\limits_{k=0}^{10}{e^{i\frac{2k\pi}{11}}}}\right) \end{align*}$$ Or $e^{i\frac{2k\pi}{11}}$ avec $k\in\left\{{0,1,2,...,10}\right\}$ sont les racines 11ème de l'unité donc $\sum\limits_{k=0}^{11}{e^{i\frac{2k\pi}{11}}}=0$
D'où $S=i$