Questions mathématiques diverses

Question 14:
Déterminer la limite suivante :
lim⁡x→0x(E(1x)+E(2x)+...+E(50x))\lim\limits_{x \to 0}x\left({E\left({\dfrac{1}{x}}\right)+E\left({\dfrac{2}{x}}\right)+...+E\left({\dfrac{50}{x}}\right)}\right)
où EE désigne la fonction partie entière.
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Déterminer la limite suivante :

$\lim\limits_{x \to 0}x\left({E\left({\dfrac{1}{x}}\right)+E\left({\dfrac{2}{x}}\right)+...+E\left({\dfrac{50}{x}}\right)}\right)$

où $E$ désigne la fonction partie entière.
Réponse 14:
Pour tout k∈{1,2,...,50}k\in\left\{{1,2,...,50}\right\} et pour tout réel x non nul,
kx−1<E(kx)⩽kx\dfrac{k}{x}-1 < E\left({\dfrac{k}{x}}\right) \leqslant \dfrac{k}{x}
☞Pour x>0x > 0
k−x<xE(kx)⩽kk-x < xE\left({\dfrac{k}{x}}\right) \leqslant k
et lim⁡x→0+(k−x)=lim⁡x→0+k=k\lim\limits_{x \to 0^+}(k-x)=\lim\limits_{x \to 0^+}k=k. donc lim⁡x→0+xE(kx)=k\lim\limits_{x \to 0^+}xE\left({\dfrac{k}{x}}\right)=k
☞Pour x<0x<0
k⩽xE(kx)<k−xk\leqslant xE\left({\dfrac{k}{x}}\right) < k-x
et lim⁡x→0−(k−x)=lim⁡x→0−k=k\lim\limits_{x \to 0^-}(k-x)=\lim\limits_{x \to 0^-}k=k donc lim⁡x→0−xE(kx)=k\lim\limits_{x \to 0^-}xE\left({\dfrac{k}{x}}\right)=k
Alors lim⁡x→0xE(kx)=k\lim\limits_{x \to 0}xE\left({\dfrac{k}{x}}\right)=k lim⁡x→0x(E(1x)+E(2x)+...+E(50x))=lim⁡x→0xE(1x)+xE(2x)+...+xE(50x)=1+2+...+50=50(1+50)2=1275\begin{align*} &\lim\limits_{x \to 0}x\left({E\left({\dfrac{1}{x}}\right)+E\left({\dfrac{2}{x}}\right)+...+E\left({\dfrac{50}{x}}\right)}\right)\\ =&\lim\limits_{x \to 0}xE\left({\dfrac{1}{x}}\right)+xE\left({\dfrac{2}{x}}\right)+...+xE\left({\dfrac{50}{x}}\right)\\ =&1+2+...+50=\dfrac{50(1+50)}{2}=1275 \end{align*}

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