Questions mathématiques diverses

Question 14:
Déterminer la limite suivante :
$\lim\limits_{x \to 0}x\left({E\left({\dfrac{1}{x}}\right)+E\left({\dfrac{2}{x}}\right)+...+E\left({\dfrac{50}{x}}\right)}\right)$
où $E$ désigne la fonction partie entière.

Réponse 14:
Pour tout $k\in\left\{{1,2,...,50}\right\}$ et pour tout réel x non nul,
$\dfrac{k}{x}-1 < E\left({\dfrac{k}{x}}\right) \leqslant \dfrac{k}{x}$
☞Pour $x > 0$
$k-x < xE\left({\dfrac{k}{x}}\right) \leqslant k$
et $\lim\limits_{x \to 0^+}(k-x)=\lim\limits_{x \to 0^+}k=k$. donc $\lim\limits_{x \to 0^+}xE\left({\dfrac{k}{x}}\right)=k$
☞Pour $x<0$
$k\leqslant xE\left({\dfrac{k}{x}}\right) < k-x$
et $\lim\limits_{x \to 0^-}(k-x)=\lim\limits_{x \to 0^-}k=k$ donc $\lim\limits_{x \to 0^-}xE\left({\dfrac{k}{x}}\right)=k$
Alors $\lim\limits_{x \to 0}xE\left({\dfrac{k}{x}}\right)=k$ $$\begin{align*} &\lim\limits_{x \to 0}x\left({E\left({\dfrac{1}{x}}\right)+E\left({\dfrac{2}{x}}\right)+...+E\left({\dfrac{50}{x}}\right)}\right)\\ =&\lim\limits_{x \to 0}xE\left({\dfrac{1}{x}}\right)+xE\left({\dfrac{2}{x}}\right)+...+xE\left({\dfrac{50}{x}}\right)\\ =&1+2+...+50=\dfrac{50(1+50)}{2}=1275 \end{align*}$$