1) L'ensemble des octets est le produit cartésien $\left\{{0,1}\right\}^8$
Donc le nombre des octets possibles est égal à $2^8=256$.
2) $Card\left({\left\{{0,1}\right\}^7}\right)=128$.
3) $Card\left({\left\{{0,1}\right\}^7}\right)=128$.
4) $Card\left({\left\{{0,1}\right\}^6}\right)=64$.

On désigne par p_i le trajet passant par le pont numéro i pour i entier de 1 jusqu'a 9.
Un chemin quelconque qui mène de A vers B et puis de B vers A est assimilé à un couple de trajets (p_i,p_j) donc l'ensemble de tous les chemins possibles est : $\left\{{p_1,p_2,...,p_9}\right\}^2$
Donc le nombre de tous les chemins possibles est égal à 9²=81
Et puisqu'il y a 9 chemins en passant par le même pont donc le nombre demandé est égal à 81-9=72.

Une réponse à ce QCM peut être désignée par un 15-uplat de 15 chiffres choisis dans l’ensemble Ω ={1;2;3;4}.
Le nombre de ces 15-uplets est donc de cardinal $\left({Card\Omega}\right)^{15}=4^{15}$

Un numéro de téléphone à 8 chiffres est un 8-uplet d’éléments choisis dans l’ensemble Ω ={0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}.
L’ensemble de ces 8-uplets est donc de cardinal $\left({Card\Omega}\right)^{8}=10^{8}$
Un numéro de téléphone à 8 chiffres ne comportant pas le chiffre 0 est un 8-uplet d’éléments choisis dans l’ensemble Ω'={1;2;3;4;5;6;7;8;9}
L’ensemble de ces 8-uplets est donc de cardinal $\left({Card\Omega'}\right)^{8}=9^{8}$ .

$$\begin{array}{l} 1.\;\\ 4! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 = 24\\ 5! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 = 120\\ 6! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 = 5! \times 6 = 720\\ 7! = 6! \times 7 = 5040\\ 8! = 7! \times 8 = 40320 \end{array}$$ $$\begin{array}{l} 2.\;\;\frac{{8!}}{{4!}} = \frac{{4! \times 5 \times 6 \times 7 \times 8}}{{4!}} = 5 \times 6 \times 7 \times 8 = 1680\\ \;\;\;\;\frac{{12!}}{{14!}} = \frac{{12!}}{{12! \times 13 \times 14}} = \frac{1}{{13 \times 14}} = \frac{1}{{182}}\\ \;\;\;\;\frac{{120!}}{{119!}} = \frac{{120 \times 119!}}{{119!}} = 120\\ \;\;\;\;\frac{{100!}}{{97!}} = \frac{{100 \times 99 \times 98 \times 97!}}{{97!}} = 100 \times 99 \times 98\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = 970200 \end{array}$$ $$\begin{array}{l} 3.\\ \;\;2 \times 4 \times ...{\rm{ }} \times 200\\ = (2 \times 1) \times (2 \times 2) \times ... \times (2 \times 100)\\ = (2 \times 2 \times ... \times 2) \times (1 \times 2 \times ... \times 100)\\ = {2^{100}} \times 100! \end{array}$$ $$\begin{array}{l} 4.\\ \frac{{2 \times 4 \times ... \times 2000}}{{3 \times 5 \times ... \times 2001}} = \frac{{{{\left( {2 \times 4 \times ... \times 2000} \right)}^2}}}{{2 \times 3 \times 4 \times 5 \times ... \times 2001}}\\ = \frac{{{{\left( {(2 \times 1) \times (2 \times 2) \times ... \times (2 \times 1000)} \right)}^2}}}{{2 \times 3 \times 4 \times 5 \times ... \times 2001}}\\ = \frac{{{{\left( {(2 \times 2 \times ... \times 2) \times (1 \times 2 \times ... \times 1000)} \right)}^2}}}{{2001!}}\\ = \frac{{{{\left( {{2^{1000}} \times 1000!} \right)}^2}}}{{2001!}} \end{array}$$

1.   $4!=24$      2.   $7!=5040$      3.   $\frac{7!}{2!}=2520$      4.   $\frac{12!}{4!2!}=9979200$

Un ordre possible des trois premiers correspond à un arrangement de trois athlètes parmi les dix athlètes.
Donc le nombre d'ordres d'arrivées possibles est le nombre des arrangements de 3 éléments parmi 10.${A}_{10}^{3}=10 \times 9 \times 8=720$

• On pose $E=\left\{{1,2,3,4,5,6,7}\right\}$
  Former un nombre de 4 chiffres de l'ensemble E revient à former un 4-uplet d'éléments quelconques de E (avec possibilité de répétition)
  Alors, on peut dire que l'ensemble des entiers de 4 chiffres de E est assimilé au produit cartésien $E^4$ dont le cardinal est $7^4$
  Ainsi, le nombre des entiers de 4 chiffres de E est égal à $7^4=2401$
• Former un entier de 4 chiffres distincts de E revient à arranger 4 éléments parmi les 7 éléments de E.(sans répétition)
  Donc le nombre des entiers de 4 chiffres de E est le nombre des arrangements de 4 éléments de l'ensemble E de 7 éléments c-à-d ${A}_{7}^{4}=7\times6\times5\times4=840$
• Ici le chiffre 0 peut donner des résultats tels que 0435, 0035, 0005, 0000 etc ... qui ne sont pas des entiers de 4 chiffres, leur nombre est $8^3$
  Alors le nombre des entiers de 4 chiffres de E={0,1,2,3,4,5,6,7} est égal à: $8^4-8^3=3584$
  Presque le même raisonnement permet de dire que le nombre des entiers de 4 chiffres distincts de E={0,1,2,3,4,5,6,7} est égal à: ${A}_{8}^{4}-{A}_{7}^{3}=7\times6\times5\times7=1470$

1. Le tirage simultané de 4 boules est assimilé à une partie (combinaison) de 4 boules de l'ensemble des 8 boules.
Donc le nombre de tirages possibles est égal à: ${C}_{8}^{4}=\frac{8!}{4!4!}=\frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2}=70$
2. Il y a ${C}_{3}^{1}$ façons de choisir une boule blanche et pour chacun de ces choix il y a ${C}_{5}^{3}$ façons de choisir les trois autres boules du tirage (qui sont forcément noires) donc le nombre de tirages dans ce cas est égal à : ${C}_{3}^{1}{C}_{5}^{3}=30$
3. ${C}_{3}^{2}{C}_{5}^{2}=30$
4. ${C}_{3}^{3}{C}_{5}^{1}=15$
5. $Aucun$
6. ${C}_{8}^{4}-{C}_{5}^{4}=65$

• Le nombre de choix de 6 personnes parmi les 25+32=57 est égal à ${C}_{57}^{6}=1083292$
• a.  ${C}_{32}^{6}=906192$.
  b.  ${C}_{32}^{6}+{C}_{25}^{6}=1083292$.
  c.   ${C}_{57}^{6}-\left({{C}_{32}^{6}+{C}_{25}^{6}}\right)=35204960$

Exercice 1
1.  $6^3$     2.  ${A}_{6}^{3}$     3.  $6^6$     4.  ${A}_{6}^{6}=6!$
Exercice 2
1.  ${C}_{4}^{1}{C}_{5}^{2}$     2.  ${C}_{5}^{1}{C}_{4}^{2}$     3.  ${C}_{4}^{3}$     4.  ${C}_{5}^{3}$     5.  ${C}_{5}^{2}+{C}_{5}^{3}$     6.  ${C}_{9}^{3}-{C}_{5}^{3}$ ou encore ${C}_{5}^{0}{C}_{4}^{3}+{C}_{5}^{1}{C}_{4}^{2}+{C}_{5}^{2}{C}_{4}^{1}=74$
Exercice 3
1.  $6^3$     2.  ${C}_{3}^{1} \times 5^2$     3.  ${C}_{3}^{2} \times 5^1$     4.  $5^3$
Exercice 4
1.   ${C}_{16}^{4}=1820$     2.   ${C}_{16}^{4}+{C}_{16}^{4}+{C}_{16}^{5}=2 \times 1820+4368=8008$
Exercice 5
1. $5!$    2. ${A}_{12}^{5}$    3. $2^5$     4. ${C}_{20}^{7}{C}_{13}^{10}$.
Exercice 6
1.  $2(n-1)!$     2.   $2(n-p)(n-2)!$