Mandelbrot est né en Pologne en 1924. En 1945 il lut un ouvrage de Julia intitulé "Mémoire sur l'itération des fonctions rationnelles". Cependant en 1970, au moyen d'ordinateurs d'IBM aux Etats-Unis, il réalisa des illustrations d'un essai qui surprit la communauté scientifique par les détails d'un graphique qui sera baptisé "l'ensemble de Mandelbrot".
Mandelbrot mit ainsi en avant la géométrie fractale, une nouvelle forme de pensée dans les domaines des mathématiques et des sciences naturelles. Il a conçu des méthodes d'observation basées sur l'autosimilarité. Mandelbrot montra que de nombreuses structures naturelles apparemment très complexes présentent en réalité une régularité géométrique invariante à différentes échelles. Il publia "The Fractal geometry of Nature" en 1982.
Une fractale est le produit final obtenu par la répétition infinie d'un processus géométrique bien défini. Quel que soit le niveau d'observation, on constate qu'il existe un modèle qui se répète sans que l'échelle d'observation ait une quelconque importance.
Le procédé est généralement très simple. En raison de l'itération infinie, on obtient des structures d'une complexité extraordinaire.
En mathématiques, l'ensemble de Mandelbrot est une fractale définie comme l'ensemble des points c du plan complexe pour lesquels la suite de nombres complexes définie par récurrence par : $$\begin{cases}z_{0}=0\\z_{n+1}=z_{n}^{2}+c\end{cases}$$ est bornée.
Pour définir mathématiquement la fractale de Mandelbrot on associe à chaque point du plan complexe, la suite $z_{n+1}=z_n^2+c$ avec $z_0=0$ et c=a+ib l'affixe du point. Tous les points pour lesquels la suite est bornée vont constituer l'ensemble de Mandelbrot.
On demontre mathématiquement que si le module de $z_n$ est supérieur à 2 la suite diverge et on déduit que l'ensemble de Mandelbrot est forcément inclus dans le cercle de rayon 2 et de centre (0,0).
L'ensemble de Mandelbrot est devenu populaire hors des mathématiques, comme inspiration artistique et comme exemple de structure complexe venant de l'application de règles simples. C'est l'un des exemples les plus connus de visualisation mathématique.

Avec $z_n=x_n+iy_n$ on trouve les relations de récurrence sur les suites réelles :$$ x_{n+1}=x_n^2-y_n^2+a \\ y_{n+1}=2 x_n y_n+b $$ Pour déterminer si un point $M(a,b)$ de la rectangle de traçage appartient à l'ensemble de Mandelbrot on bouclera sur la suite complexe jusqu'à ce qu'elle diverge ce qui est acquis si $|z_n|^2= x_n^2+y_n^2>4$ ou que le nombre de boucles soit supérieur à une limite maxIterations fixée.