Calcul dans IR : Exercice 12 2ème année secondaire
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Exercice 12 --- (id : 10)
correction
1)
Pour tout entier naturel n non nul on sait que $n< n+1 < n+2$ donc $\dfrac{1}{n}>\dfrac{1}{n+1}>\dfrac{1}{n+2}$ ou encore
$\dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$
2)
$\dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n}\leqslant \dfrac{1}{n}$
$\dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{1}{n+2}\leqslant \dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n}$
En faisant la somme membre à membre des trois encadrements précédents , on obtient:
$\dfrac{3}{n+2}<\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}<\dfrac{3}{n}$
$\dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n+1}<\dfrac{1}{n}$
$\dfrac{1}{n+2}\leqslant \dfrac{1}{n+2}<\dfrac{1}{n}$
En faisant la somme membre à membre des trois encadrements précédents , on obtient:
$\dfrac{3}{n+2}<\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}<\dfrac{3}{n}$
3)
Il suffit de choisir $n=100$ et d'appliquer l'encadrement précédent.