Calcul dans IR : Exercice 13 2ème année secondaire
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Exercice 13 --- (id : 33)
correction
1)
$\left({\frac{\sqrt{5}-1}{2}}\right)^2+\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1$
$=\frac{(\sqrt{5}-1)^2}{4}+\frac{\sqrt{5}-1}{2}-1$
$=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}+\frac{2\sqrt{5}-2}{4}-\frac{4}{4}$ $=\frac{5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4}{4}$
$=\frac{6-6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}}{4}=0$
$x^2+x-1=0$ équivaut $x(x+1)=1$ donc $x+1=\frac{1}{x}$ car $x\neq 0$
$=\frac{5-2\sqrt{5}+1}{4}+\frac{2\sqrt{5}-2}{4}-\frac{4}{4}$ $=\frac{5-2\sqrt{5}+1+2\sqrt{5}-2-4}{4}$
$=\frac{6-6-2\sqrt{5}+2\sqrt{5}}{4}=0$
$x^2+x-1=0$ équivaut $x(x+1)=1$ donc $x+1=\frac{1}{x}$ car $x\neq 0$
2)
$x+1=\frac{1}{x}$
équivaut $\frac{x+1}{x}=\frac{1}{x^2}$ $(x>0)$
équivaut $\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}}$
équivaut $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x}$ et $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}=x$
Donc $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}$
$=\frac{1}{x}+x=(x+1)+x$ $=2x+1=2\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$ $=\sqrt{5}-1+1=\sqrt{5}$
équivaut $\frac{x+1}{x}=\frac{1}{x^2}$ $(x>0)$
équivaut $\sqrt{\frac{x+1}{x}}=\sqrt{\frac{1}{x^2}}$
équivaut $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}=\frac{1}{x}$ et $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}=x$
Donc $\frac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+1}}$
$=\frac{1}{x}+x=(x+1)+x$ $=2x+1=2\frac{\sqrt{5}-1}{2}+1$ $=\sqrt{5}-1+1=\sqrt{5}$