Calcul dans IR : Exercice 14 2ème année secondaire

a) $(\sqrt 5-2)^2$ $=(\sqrt 5)^2-2\times\sqrt5\times2+2^2$ $=5-4\sqrt 5+4$ $=9-4\sqrt 5$
Donc $\sqrt{9-4\sqrt 5}$ $=\sqrt{(\sqrt 5-2)^2}$ $=|\sqrt 5-2|=\sqrt 5-2$

b) $(3-\sqrt5)^2$ $=3^2-2\times3\times\sqrt5+(\sqrt5)^2$ $=9-6\sqrt5+5=14-6\sqrt5$
$0<14-6\sqrt5<15-6\sqrt5$ donc $\sqrt{14-6\sqrt5}<\sqrt{15-6\sqrt5}$
Or $\sqrt{14-6\sqrt5}=\sqrt{(3-\sqrt5)^2}$ $=|3-\sqrt5|=3-\sqrt5$
D'où    $3-\sqrt5<\sqrt{15-6\sqrt5}$

c) $5-2\sqrt5=\sqrt5(\sqrt5-2)$ et $\sqrt{45-20\sqrt5}=\sqrt{5(9-4\sqrt5)}$ $=\sqrt5\sqrt{9-4\sqrt5}$
$\sqrt5-2=\sqrt{9-4\sqrt5}$  donc   $5-2\sqrt5=\sqrt5(\sqrt5-2)$ $=\sqrt5\sqrt{9-4\sqrt5}$ $=\sqrt{45-20\sqrt5}$