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Dénombrement


Dénombrement
Créé par Dhaouadi Nejib le 15/01/2019
I- Revenons sur les ensembles
Un ensemble est une collection ou un groupement d'objets distincts ; ces objets s'appellent les éléments de cet ensemble. Pour traduire q'un objet x est un élément d'un ensemble noté E, on dit que x appartient à E et on note $ x \in E$ et si x n'est pas un élément de E ou encore x n'appartient pas à E on note $x \notin E$.
  • Un ensemble est fini s'il contient un nombre fini d'éléments.
  • Un ensemble E est dit vide s'il ne contient aucun élément on le note $ \emptyset $.
  • Un ensemble E est inclu dans un ensemble F si tout élément de E est un élément de F, on note $E \subset F$ et on dit que E est un sous-ensemble de F ou encore E est une partie de F.
  • Deux ensembles E et F sont égaux si et seulement si $E \subset F$ et $F \subset E$.
L'intersection de deux ensembles E et F est l'ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à E et à F, on le note $E \cap F$ (lire « E inter F »)
c'est-à-dire que :
$x \in E \cap F$ si et seulement si $x \in E$ et $x \in F$
Si $E \cap F=\emptyset $ on dit que les ensembles E et F sont disjoints.
$$E \cap F=\left\{{d,e,f}\right\}$$
La réunion de deux ensembles E et F est l'ensemble des éléments qui appartiennent à E ou à F, on le note $E \cup F$ (lire « E union F »)
c'est-à-dire que :
$x \in E \cup F$ si et seulement si $x \in E$ ou $x \in F$
$$E \cup F=\left\{{a,b,c,d,e,f,g,h}\right\}$$
Soit E un ensemble et A un sous ensemble de E.
Le complémentaire de A dans E noté ${\complement}_{E}^{A} $ ou $\overline{A}$ est l'ensemble des éléments de E n'appartenant pas à A. c'est-à-dire que :
$x \in \overline{A}$ si et seulement si $x \in E \;et\; x \notin A$
Il est évident que $ A \cup \overline{A}=E$ et $A \cap \overline{A}=\emptyset $ on dit que A et $\overline{A}$ forment une partition de E.
Dans l'exemple ci-contre: $\overline{A}=\left\{{d,f,g,h}\right\} $
La différence ensembliste de E et F notée « E \ F » (lire « E moins F ») est l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à F, autrement dit c'est le complémentaire de F dans E, soit : $E \backslash F=\left\{{x \in E \;| \; x \notin F}\right\}$
$$E \backslash F=\left\{{a,b,c}\right\}$$
La différence symétrique de deux ensembles E et F est l'ensemble des éléments qui appartiennent à l'un ou l'autre des deux ensembles et non aux deux.
Cet ensemble est noté $E \, \Delta \, F$ on lit «E delta F »
ainsi : $E \, \Delta \, F=(E \backslash F) \cup (F \backslash E)$
$$E \, \Delta \, F=\left\{{a,b,c,f,g,h}\right\}$$
Formules de Morgan
Soient E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E
  $\overline{\overline{A}}=A$   ,   $\overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$    ,   $\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B}$
 II- Cardinal d'un ensemble fini
Définition
Soit E un ensemble fini
On appelle cardinal de E le nombre des éléments de E.
Si l'ensemble E contient n éléments, on écrit Card E=n
Propriétés
E et F sont deux ensembles finis.
  • $Card(E \cup F)=Card(E)+Card(F)-Card(E\cap F)$
  • Si E et F sont disjoints ($E\cap F=\emptyset$) on obtient :
    $Card(E \cup F)=Card(E)+Card(F)$
  • Si A est un sous-ensemble de E et $\overline{A}$ le complémentaire de A dans E alors: $Card(\overline{A})=Card(E)-Card(A)$
  • $Card(E \backslash F)=Card(E)-Card(E \cap F)$
III-Produit cartésien de deux ensembles finis
Définition
Le produit cartésien (ou ensemble-produit) d'un ensemble E par un ensemble F est l'ensemble des couples dont l'origine est un élément de E et l'extrémité est un élément de F.
On le note E✕F (on lit «E crois F»)
$E\times F =\left\{{(x,y)\;tq\;\; x\in E \; et \; y \in F}\right\}$ et on a : $Card(E\times F)=Card(E)\times Card(F).$

Remarques

Soit E un ensemble non vide.
On sait que chaque élément du produit cartésien $E \times E$ (noté $E^2$) est un couple.
Aussi, chaque élément du produit cartésien $E \times E \times E$ (noté $E^3$) est un triplet.
Plus généralement, p étant un entier superieur ou égal à 2. Chaque élément du produit cartésien $ \underbrace{E \times E \times ... \times E}_{p fois}$ (noté $E^p$) est appelé un p-uplet
Et on a: card(E2)=(card(E))2 ; card(E3)=(card(E))3 et plus généralement card(Ep)=(card(E))p où p est un entier $\geqslant 2$

Exemple

On se propose de déterminer le nombre des entiers naturels de trois chiffres qu'on peut former à l'aide des chiffres 1,2 et 3.
Pour accomplir cette tâche, il est légitime de s'aider d'un diagramme qui nous facilite la tâche. Remarquer le diagramme suivant:

D'après le diagramme ainsi construit (appelé arbre de choix), il y a $3 \times 3 \times 3=27$ entiers obtenus.
Pour former un entier naturel de 3 chiffres, on commence par choisir le chiffre des centaines parmi les 3 choix possibles 1, 2 ou 3 et de même pour le chiffre des dizaines et le chiffre des unités ce qui revient à former un triplet dont les composants sont 1, 2 ou 3.
Donc un tel entier naturel est un élément du produit cartésien $\left\{{1,2,3}\right\} \times \left\{{1,2,3}\right\} \times \left\{{1,2,3}\right\} =\left\{{1,2,3}\right\}^3$ dont le cardinal égal à $3^3=27$.
Exercice 1
En informatique un "bit" (binary digit) vaut soit 0 soit 1, un "octet" est une succession de huit bits (exemple : 00011001).
1. Combien existe-t-il d’octets possibles ?
2. Combien existe-t-il d’octets possibles commençant par 1 ?
3. Combien existe-t-il d’octets possibles commençant par 0 ?
4. Combien existe-t-il d’octets possibles commençant par 00 ?
Cliquer ici pour montrer les solutions
Exercice 2

Déterminer le nombre de chemins possibles permettant d'aller de la ville A vers la ville B et de retourner de A vers B sans passer par le même pont.
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Exercice 3
Un questionnaire à choix multiples, autorisant une seule réponse par question, comprend 15 questions. Pour chaque question, on propose 4 réponses possibles.
De combien de façons peut-on répondre à ce questionnaire ?
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Exercice 4
Combien peut-on former de numéros de téléphone à 8 chiffres ?
Combien peut-on former de numéros de téléphone à 8 chiffres ne comportant pas le chiffre 0 ?
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IV-Les Permutations
Définition
Soit E un ensemble fini et non vide de cardinal n.
On appelle permutation des éléments de E tout n-uplet d'éléments distincts de E.
Une permutation de E est assimilée à une numérotation des n éléments de E de 1 jusqu'a n qu'on peut mettre en évidence simplement en écrivant ces éléments suivant l'ordre de cette numérotation.
Le nombre des permutations de E est égal à: n x (n-1) x (n-2) x ... x 2 x 1.
Notation
Soit n un entier naturel non nul.
On appelle factorielle de n et on note n!, l’entier 1x 2x …x n. Par suite, le nombre des permutations des n éléments de E est égal à n! .
On convient que 0!=1.
Exercice 5
1. Calculer 4! ; 5! ; 6! ; 7! ; 8!.
2. Calculer $\frac{8!}{4!}\;,\frac{12!}{14!} \;,\; \frac{120!}{119!}\; et \; \frac{100!}{97!} $
3. Montrer que 2 x 4 x ... x 200=2100100!
4. Montrer que $\frac{2 \times 4 \times ... \times 2000}{3 \times 5 \times ... \times 2001}=\frac{{\left({2^{1000}\times 1000!}\right)}^{2}}{2001!}$
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Exercice 6
  • On appelle anagramme du mot MATH tout mot (ayant un sens ou non) formé des quatre lettres M, A, T et H.
    Combien y a-t-il d’anagrammes du mot MATH ?
  • Combien y a-t-il d’anagrammes du mot LOGIQUE ?
  • Combien y a-t-il d’anagrammes du mot TUNISIE ?
  • Combien y a-t-il d’anagrammes du mot BACCALAUREAT ?
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V. Arrangement
Définition
Soit E un ensemble fini non vide de cardinal n et p un entier naturel tel que 1 ≤ p ≤ n. On appelle arrangement de p éléments de E tout p-uplet d’éléments distincts de E.
Le nombre d’arrangements de p éléments de E est l’entier noté ${A}_{n}^{p}$ (on lit «A, n, p»),tel que
$${A}_{n}^{p}=n\times(n-1)\times ... \times (n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!} $$ On convient que ${A}_{n}^{0}=1$

Exemple

Soit l'ensemble $E=\left\{{a,b,c,d}\right\}$
Un arrangement de trois éléments de E est un triplet d'éléments distincts de E.
On peut citer, par exemple:(a,b,c),(a,b,d),(d,a,c),(d,a,b),(d,b,a) etc ...
Le nombre des triplets possibles est égal à ${A}_{4}^{3}=4 \times 3 \times 2=24$.
Exercice 7
On considère une course à laquelle participent dix athlètes.
Combien existe-t-il d'ordres d'arrivées possibles des trois premiers (sans ex-æquo)?
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Exercice 8
A l'aide des chiffres de 1 à 7
  • Combien peut-on former de nombre de quatre chiffres?
  • Combien peut-on former de nombre de quatre chiffres distincts?
  • Reprendre les deux questions précédentes à l'aide des chiffres de 0 à 7.
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VI. Combinaisons
Définition
Soit E un ensemble fini non vide de cardinal n et p un entier naturel tel que $0\leqslant p\leqslant n$.
On appelle combinaison de p éléments de E, toute partie de p éléments distincts de E.
Le nombre de parties à p éléments d'un ensemble de n éléments est noté ${C}_{n}^{p}$ ou $\left({\begin{aligned}&{n}\\&{p}\end{aligned}}\right)$
Soit n et p deux entiers naturels tels que n ≥ 1 et 0 ≤ p ≤ n.
Pour former tous les arrangements de p éléments de E, on applique à chaque partie de p éléments de E toutes les p! permutations possibles, ce qui permet de dire que ${A}_{n}^{p}=p!{C}_{n}^{p}$ ou encore: $$ \boxed{{C}_{n}^{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}} $$
Propriétés
  • L'ensemble vide $\emptyset$ qui contient 0 élément, admet une seule partie de 0 élément qui est $\emptyset$ (lui même) donc ${C}_{0}^{0}=1$
  • L'ensemble vide $\emptyset$ est toujour la seule partie de n'importe quel ensemble de n éléments, qui contient 0 élément donc ${C}_{n}^{0}=1$
  • A l'aide des n éléments d'un ensemble ($n \geqslant 1 $), on peut former exactement n parties contenant chacune un seul élément (appelées des singletons) donc ${C}_{n}^{1}=n$
  • Dans un ensemble E de n éléments ($n \geqslant 1$), le choix d'un singleton correspond exactement au choix d'une partie de n-1 éléments (Les éléments de E autre que l'élément du singleton) donc ${C}_{n}^{n-1}={C}_{n}^{1}=n$
  • Soit E un ensemble de cardinal n et p tel que 0 ≤ p ≤ n. Choisir une partie à p éléments de E revient à choisir une partie à n – p éléments. donc ${C}_{n}^{p}={C}_{n}^{n-p}$
  • Il y a deux façons de choisir p éléments parmi n éléments
    ➽ soit on prend un élément bien précis désigné à l'avance et il reste p-1 éléments parmi n-1 éléments, ce qui fait ${C}_{n-1}^{p-1}$ possibilités
    ➽ soit on ne prend pas cet élément et il faut choisir p éléments parmi n-1 éléments, ce qui fait ${C}_{n-1}^{p}$ possibilités.
    D'où l'égalité :$$ {C}_{n}^{p}={C}_{n-1}^{p-1}+{C}_{n-1}^{p}$$
Exercice 9
Une urne contient trois boules blanches et cinq boules noires.
On tire simultanément quatre boules de l’urne.
  • Combien y a-t-il de tirages possibles ?
  • Combien y a-t-il de tirages qui contiennent une seule boule blanche ?
  • Combien y a-t-il de tirages qui contiennent deux boules blanches ?
  • Combien y a-t-il de tirages qui contiennent trois boules blanches ?
  • Combien y a-t-il de tirages qui contiennent quatre boules blanches ?
  • Combien y a-t-il de tirages qui contiennent au moins une boule blanche ?
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Exercice 10
On constitue un groupe de 6 personnes choisies parmi 25 femmes et 32 hommes.
  • De combien de façons peut-on constituer ce groupe de 6 personnes ?
  • Dans chacun des cas suivants, de combien de façons peut-on constituer ce groupe avec :
    a) uniquement des hommes.
    b) des personnes de même sexe.
    c) au moins une femme et au moins un homme.
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VII. Triangle de Pascal et binôme de Newton

Triangle de Pascal


Et d'après la dernière propriété plus haut, le triangle de pascal deient très simple à établir.

Nombre de parties d'un ensemble fini.

Dans la formule du binôme, pour a=1 et b=1 on obtient:
$2^n={C}_{n}^{0}+{C}_{n}^{1}+ \dots +{C}_{n}^{n}$
Chacun des nombres ${C}_{n}^{p}$ représente le nombre de parties de p éléments d'un ensemble de n éléments ($0 \leqslant p \leqslant n$)
D'où le théorème suivant:
Théorème
Le nombre de parties d'un ensemble de n éléments est égal à $2^n$
VIII. Autres exercices
Exercice 1
A l'aide des chiffres 2, 3, 4, 5, 6, 7, combien peut-on écrire:
  • de nombres de trois chiffres?
  • de nombres de trois chiffres distincts?
  • de nombres de six chiffres?
  • de nombres de six chiffres distincts?
Exercice 2
Un sac contient cinq jetons blancs et quatre jetons noirs.
On prend simultanément trois jetons du sac.
De combient de façons peut-on ainsi extraire:
  • Un jeton noir et un seulement?
  • Un jeton blanc et un seulement?
  • Trois jetons noirs?
  • Aucun jeton noir?
  • Au moins deux jetons blancs?
  • Au plus deux jetons blancs?
Exercice 3
Trois dés de couleurs differentes ont des faces numérotées de 1 à 6.
On jette ces trois dés et on observe les nombres inscrits sur les faces superieures.
  • Dénombrer tous les résultats possibles.
  • Dénombrer les résultats comportant un seul 3.
  • Dénombrer les résultats comportant exactement deux 4.
  • Dénombrer les résultats ne comportant aucune 5.

Exercice 4
Une assemblée de dix hommes et huit femmes désirent élire un comité de cinq membres.
Madame A et Monsieur B ne peuvent pas faire partie d'un même comité.
  • Quel est le nombre de comités dont Madame A ferait partie?
  • Quel est, dans les conditions précisées par les énoncés, le nombre de comités qui pourraient être constitués?
Exercice 5
  • De combien de façons peut-on placer 5 boules de couleurs différentes dans 5 boites alignées? (on place une boule dans chaque boite)
  • De combien de façons peut-on placer 5 boules à choisir parmi 12 boules de couleurs différentes, dans 5 boites alignées?
  • De combien de façons peut-on placer 5 boules à choisir parmi 7 boules blanches et 10 boules noires, dans 5 boites alignées?
  • De combien de façons peut-on placer 7 boules blanches et 10 boules noires dans 20 boites alignées?
Exercice 6
On constitue une file d’attente en attribuant au hasard des numéros d’ordre à n personnes ($n\geqslant 2$). Deux amis A et B se trouvent dans cette file d’attente.
  • Dénombrer le nombre de façons où les deux amis soient situés l’un derrière l’autre ?
  • Dénombrer le nombre de façons où les deux amis soient distants de p places (i.e. séparés par p − 1 personnes) ?
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