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Système de Lindenmayer et les plantes fractales

Créé par Dhaouadi Nejib 2018

Le système de Lindenmayer
Lindenmayer (1925-1989) est un biologiste hongrois qui a proposé en 1968 une méthode pour décrire la structuration des plantes. Il a inventé un modèle de développement que l’on appelle maintenant L-System (ou système de Lindenmayer). Ce système est un ensemble de règles et de symboles qui permettent de modéliser la croissance d'un objet. Ce modèle s’applique également à la suite de Fibonacci, au flocon de Koch, puis à la forme des arbres ou des feuilles. Un L-Système permet de modéliser entièrement le développement et la croissance d’un système arborescent.
Les symbols les plus utilisés sont les suivants:
  • F : Se déplacer d’un pas unitaire.
  • + : Tourner à gauche d’angle α.
  • - : Tourner à droite d’un angle α.
  • [ : Sauvegarder la position courante.
  • ] : Restaurer la dernière position sauvée.
Exemple
Considérons une chaine de caractères initiale (appelée axiome): F+F+F+F
Et puis une règle de réécriture ou de remplacement: F --> F+F-F-FF+F+F-F
Après une seule itération, on obtient la chaine suivante sans parenthèses:
(F+F-F-FF+F+F-F) + (F+F-F-FF+F+F-F) + (F+F-F-FF+F+F-F) + (F+F-F-FF+F+F-F)
comment générer une fractale

La deuxième itération nous donne la chaine suivante:
F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-FF+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F+ F+ F-F-FF+ F+ F-F-F+ F-F-FF+ F+ F-F
Koch Curve

Les plantes fractales
A l'aide du système de Lindenmayer, vous pouvez utiliser un logiciel convenable pour tracer des plantes fractales, il suffit de faire un recherche sur google pour trouver des logiciels utilisant le L-system pour tracer des fractales.
Ici j'utilise mon propre logiciel que j'ai conçu moi même pour tracer des exemples de fractales.
Dans chaque exemple, on donne l'axiome, les règles et l'image générée.
Axiome : F
Règle :
F --> F[+F]F[-F][F]
Angle = 24°
n=4 et n=6
Plante fractale 3
Axiome : F
Règle :
F --> F[+F]F[-F]
Angle = 22°
n=4 et n=6
Plante fractale 4
Axiome : F
Règle :
F --> F[+F-F]F[-F]
Angle = 22°
n=4 et n=6
Plante fractale 5
Axiome : F
Règle :
F --> [-F+F]FF[+FF]
Angle = 24°
n=4 et n=6
Plante fractale 6
Axiome : F
Règle :
F --> FF-[-F+F]+[+F-F]
Angle = 24°
n=4 et n=6
Plante fractale 7
Axiome : F
Règle :
F --> FF-[-F+F+F]+[+F-F-F]
Angle = 24°
n=4 et n=5
Plante fractale 8
Axiome : F
Règle :
F --> FF[+FF][-FF]
Angle = 18°
n=4 et n=6
Plante fractale 9
Axiome : X
Règles :
X --> F-[[X]+X]+F[+FX]-X
F --> FF
Angle = 20°
n=4 et n=7
Plante fractale 10

Axiome : Y
Règles :
X --> X[-FF][+FF]FX
Y --> YFX[+YY][-YY]
Angle = 25,7°
n=4 et n=6
Plante fractale 11
axiome : VZFFF
Regles:
V -> [+++W][---W]YV
W -> +X[-W]Z
X -> -W[+X]Z
Y -> YZ
Z -> [-FFF][+FFF]F
angle = 20°
Plante fractale 2

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