🔷 A 2 = [ ( 6 + 2 ) ( 3 − 2 ) ( 3 + 2 ) ] 2 = ( 6 + 2 ) 2 ( 3 − 2 ) 2 3 + 2 2 = ( 6 + 2 ) 2 ( 2 − 3 ) 2 3 + 2 2 = ( 6 + 2 6 2 + 2 ) ( 2 − 3 ) ( 2 − 3 ) ( 2 + 3 ) = ( 8 + 2 12 ) ( 2 − 3 ) ( 4 − 3 ) = ( 8 + 4 3 ) ( 2 − 3 ) 16 − 8 3 + 8 3 − 12 = 4 🔷 A 2 = 4 ⇔ A = − 2 o u A = 2 \begin{align*}
🔷A^2&=\left[{\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)\left({\sqrt{3}-2}\right)\left({\sqrt{\sqrt{3}+2}}\right)}\right]^2\\
&=\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)^2\left({\sqrt{3}-2}\right)^2\sqrt{\sqrt{3}+2}^2\\
& =\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)^2\left({2-\sqrt{3}}\right)^2\sqrt{\sqrt{3}+2}^2 \\
& =\left({6+2\sqrt{6}\sqrt{2}+2}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right)\left({2+\sqrt{3}}\right) \\
&=\left({8+2\sqrt{12}}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right)\left({4-3}\right) \\
&=\left({8+4\sqrt{3}}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right) \\
&16-8\sqrt{3}+8\sqrt{3}-12=4 \\
🔷A^2&=4\Leftrightarrow A=-2\; ou\; A=2
\end{align*} 🔷 A 2 🔷 A 2 = [ ( 6 + 2 ) ( 3 − 2 ) ( 3 + 2 ) ] 2 = ( 6 + 2 ) 2 ( 3 − 2 ) 2 3 + 2 2 = ( 6 + 2 ) 2 ( 2 − 3 ) 2 3 + 2 2 = ( 6 + 2 6 2 + 2 ) ( 2 − 3 ) ( 2 − 3 ) ( 2 + 3 ) = ( 8 + 2 12 ) ( 2 − 3 ) ( 4 − 3 ) = ( 8 + 4 3 ) ( 2 − 3 ) 16 − 8 3 + 8 3 − 12 = 4 = 4 ⇔ A = − 2 o u A = 2
Or
3 − 2 < 0 \sqrt{3}-2<0 3 − 2 < 0 (Les deux autres facteurs sont positifs) donc
A < 0 A<0 A < 0
d'où
A = − 2 \boxed{A=-2} A = − 2
Remarque
On peut aussi calculer directement A de la façon suivante:
A = ( 6 + 2 ) ( 3 − 2 ) ( 3 + 2 ) = 2 ( 3 + 1 ) ( 3 − 2 ) 3 + 2 = − ( 3 + 1 ) ( 2 − 3 ) 2 2 + 3 = − ( 3 + 1 ) ( 2 − 3 ) 4 + 2 3 = − ( 3 + 1 ) ( 2 − 3 ) ( 3 + 1 ) 2 = − ( 3 + 1 ) 2 ( 2 − 3 ) = − ( 4 + 2 3 ) ( 2 − 3 ) = − 2 ( 2 + 3 ) ( 2 − 3 ) = − 2 ( 4 − 3 ) = − 2 \begin{align*}
A&=\left({\sqrt{6}+\sqrt{2}}\right)\left({\sqrt{3}-2}\right)\left({\sqrt{\sqrt{3}+2}}\right)\\
&=\sqrt{2}\left({\sqrt{3}+1}\right)\left({\sqrt{3}-2}\right)\sqrt{\sqrt{3}+2}\\
&=-\left({\sqrt{3}+1}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right)\sqrt{2}\sqrt{2+\sqrt{3}}\\
&=-\left({\sqrt{3}+1}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right)\sqrt{4+2\sqrt{3}}\\
&=-\left({\sqrt{3}+1}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right)\sqrt{\left({\sqrt{3}+1}\right)^2}\\
&=-\left({\sqrt{3}+1}\right)^2\left({2-\sqrt{3}}\right)\\
&=-\left({4+2\sqrt{3}}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right)\\
&=-2\left({2+\sqrt{3}}\right)\left({2-\sqrt{3}}\right)\\
&=-2\left({4-3}\right)=-2
\end{align*} A = ( 6 + 2 ) ( 3 − 2 ) ( 3 + 2 ) = 2 ( 3 + 1 ) ( 3 − 2 ) 3 + 2 = − ( 3 + 1 ) ( 2 − 3 ) 2 2 + 3 = − ( 3 + 1 ) ( 2 − 3 ) 4 + 2 3 = − ( 3 + 1 ) ( 2 − 3 ) ( 3 + 1 ) 2 = − ( 3 + 1 ) 2 ( 2 − 3 ) = − ( 4 + 2 3 ) ( 2 − 3 ) = − 2 ( 2 + 3 ) ( 2 − 3 ) = − 2 ( 4 − 3 ) = − 2
