Questions mathématiques diverses

Question 51:
$n$ est un entier naturel non nul et $a$ et $b$ deux réels tels que
$\sin a\neq \sin b$ et $\cos a \neq \cos b$. Montrer que :
$\left({\dfrac{\cos a+\cos b}{\sin a-\sin b}}\right)^n$ $+\left({\dfrac{\sin a+\sin b}{\cos a-\cos b}}\right)^n$ $=\left[{1+(-1)^n}\right]\cot^n\left({\dfrac{a-b}{2}}\right)$

Question 52:
Soit $\theta$ un réel tel que $0 < \theta < \frac{\pi}{16}$
Montrer que $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 8\theta}}} =2\cos \theta$

Question 53:
Montrer que si $\tan \dfrac{\theta}{2}=\sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}}\tan \dfrac{\phi}{2}$
alors $\cos \theta=\dfrac{a\cos \phi+b}{a+b\cos \phi}$

Question 54:
Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\beta \neq 2k\pi$ où $k\in\Bbb Z$
Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
$\sin \alpha+\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha+2\beta)+...+\sin(\alpha+(n-1)\beta)$
$=\dfrac{\sin \dfrac{n\beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}}\sin\left({\alpha+(n-1)\dfrac{\beta}{2}}\right)$

Question 55:
Justifier rigoureusement l'équivalence suivante :
$\left\{{\begin{aligned}&{x^2-y^2=a}\\&{2xy=b}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x^2-y^2=a}\\&{x^2+y^2=\sqrt{a^2+b^2}}\\&{(xy)b\geqslant 0}\end{aligned}}\right.$

Question 56:

Question 57:
      

Question 58:
Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ définie par :
$f(x)=\sqrt{x-4-2\sqrt{x-5}}-\sqrt{x-4+2\sqrt{x-5}}$

Question 59:
Résoudre, dans $\R$, l'inéquation suivante :
$||x-1|-5|\geqslant 2$ 🤔

Question 60:
Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ définie par :
$f(x)=\log_4\left({\log_5\left({\log_3(18x-x^2-77)}\right)}\right)$