Questions mathématiques diverses

Question 52:
Soit $\theta$ un réel tel que $0 < \theta < \frac{\pi}{16}$
Montrer que $\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 8\theta}}} =2\cos \theta$

Réponse 52:
$0 < \theta < \frac{\pi}{16}\Longrightarrow$ $0 < \theta<2\theta<4\theta<8\theta<\dfrac{\pi}{2}$ $\Longrightarrow \cos \theta > 0 ,\;\cos 2\theta > 0,$ $\;\cos 4\theta >0 \;et\;\cos 8\theta > 0$ $$\begin{align*} &\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 8\theta}}}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 8\theta)}}}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{4\cos^2 4\theta}}}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{2+2\cos 4\theta}}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{2(1+\cos 4\theta)}}\\ &=\sqrt{2+\sqrt{4\cos^2 2\theta}}\\ &=\sqrt{2+2\cos 2\theta}\\ &=\sqrt{2(1+\cos 2\theta)}\\ &=\sqrt{4\cos^2 \theta}\\ &=2\cos \theta \end{align*}$$