Questions mathématiques diverses

Question 51:
$n$ est un entier naturel non nul et $a$ et $b$ deux réels tels que
$\sin a\neq \sin b$ et $\cos a \neq \cos b$. Montrer que :
$\left({\dfrac{\cos a+\cos b}{\sin a-\sin b}}\right)^n$ $+\left({\dfrac{\sin a+\sin b}{\cos a-\cos b}}\right)^n$ $=\left[{1+(-1)^n}\right]\cot^n\left({\dfrac{a-b}{2}}\right)$

Réponse 51:
$\left({\dfrac{\cos a+\cos b}{\sin a-\sin b}}\right)^n$ $+\left({\dfrac{\sin a+\sin b}{\cos a-\cos b}}\right)^n$ $=\left({\dfrac{2\cos\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}}{2\cos\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{a-b}{2}}}\right)^n$ $+\left({\dfrac{2\sin\dfrac{a+b}{2}\cos\dfrac{a-b}{2}}{2\sin\dfrac{a+b}{2}\sin\dfrac{b-a}{2}}}\right)^n$ $=\left({\cot\dfrac{a-b}{2}}\right)^n+\left({-\cot\dfrac{a-b}{2}}\right)^n$ $=\left({1+(-1)^n}\right)\cot^n\dfrac{a-b}{2}$