Activités numériques I : Exercice 26 première année secondaire

a $5733 = 3^2\times 7^2\times 13^1$ et $2457=3^3\times 7^1\times 13^1$ donc $pgcd(a,b)=3^2\times 7^1\times 13=819$ et $ppcm(a,b)=3^3\times 7^2\times 13=17199$

b $A=\dfrac{5733}{2457}-\dfrac{2457}{5733}+\dfrac{2}{21}$ $=\dfrac{7\times 819}{3\times 819}-\dfrac{3\times 819}{7\times 819}+\dfrac{2}{21}$ $=\dfrac{7}{3}-\dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{21}$ $=\dfrac{49-9+2}{21}=\dfrac{42}{21}=2$

c $B=\dfrac{7}{a}+\dfrac{3}{b}$ $=\dfrac{7}{7\times 819}+\dfrac{3}{3\times 819}$ $=\dfrac{1}{819}+\dfrac{1}{819}=\dfrac{2}{819}$

a $D_{91}=\left({1,7,13,91}\right)$

b $\dfrac{k+90}{k-1}\in\N$ $\iff \dfrac{(k-1)+91}{k-1}\in\N$ $\iff 1+\dfrac{91}{k-1}\in\N$ $\iff (k-1)\; divise \;91$ $\iff (k-1)\in\left\{{1,7,13,91}\right\}$ $\iff k\in \left\{{2,8,14,92}\right\}$

a $n-1$ est divisible par 3 $\iff n-1=3q$ où $q\in \N$ $\iff n=3q+1$ donc le reste de la division euclidienne de $n$ par $3$ est égal à $1$.

b $n^3+8=n^3+2^3$ $=(n+2)(n^2-2n+4)$ $=(n+2)[(n-1)^2+3]$
$n=3q+1$ donc $n-1=3q$ et $n+2=3q+3=3(q+1)$
Alors $n^3+8=3(q+1)[(3q)^2+3]$ $=3(q+1)[3(3q^2+1)]$ $=9(q+1)(3q^2+1)$