Trigonométrie : Exercice 8 2ème année secondaire

1 $$\begin{align*} &\;\;\;(\cos\alpha)^4-(\sin\alpha)^4\\ &=((\cos\alpha)^2)^2-((\sin\alpha)^2)^2\\ &=[(\cos\alpha)^2-(\sin\alpha)^2][(\cos\alpha)^2+(\sin\alpha)^2]\\ &=[(\cos\alpha)^2-(1-(\cos\alpha)^2)]\times1\\ &=(\cos\alpha)^2-1+(\cos\alpha)^2\\ &=2(\cos\alpha)^2-1 \end{align*}$$

2 $\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$ $\iff \sin^2\alpha=1-\cos^2\alpha$ $\iff sin\alpha=\pm \sqrt{1-\cos^2\alpha}$
Pour $\alpha=\dfrac{\pi}{8}$, $\sin\alpha>0$ car $\alpha\in \left]{0;\dfrac{\pi}{2}}\right[$ donc $$\begin{align*} \sin\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)&=\sqrt{1-\cos^2\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)}\\ &=\sqrt{1-\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}}\\ &=\sqrt{\dfrac{4-2-\sqrt{2}}{4}}\\ &=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \end{align*}$$ $\tan\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)=\dfrac{\sin\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)}{cos\left({\dfrac{\pi}{8}}\right)}$ $=\dfrac{\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}}{\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}}$ $=\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$ $=\sqrt{\dfrac{2-\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}}$ $=\sqrt{\dfrac{(2-\sqrt{2})^2}{2}}$ $=\dfrac{\left|{2-\sqrt{2}}\right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1$

3 On sait que pour tout réel x; $\sin(-x)=-\sin x$ et $\cos(\pi-x)=-\cos x$ donc
$\sin\left({-\dfrac{\pi}{6}}\right)=-\sin\left({\dfrac{\pi}{6}}\right)$ $=-\dfrac{1}{2}$
$\cos\left({\dfrac{5\pi}{6}}\right)=\cos\left({\pi-\dfrac{\pi}{6}}\right)$ $=-\cos\left({\dfrac{\pi}{6}}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$