Arithmetique : Exercice 7 2ème année secondaire

1) $\dfrac{n+17}{n+4}=\dfrac{(n+4)+13}{n+4}=1+\dfrac{13}{n+4}$
$\dfrac{n+17}{n+4}\in \Bbb N$ $\iff n+4\;divise\;13$ $\iff n+4\in \left\{{1;13}\right\}$ $\iff n+4=13$ (car $n+4\geqslant 4$) $\iff n=13-4=9$
Conclusion : $\dfrac{n+17}{n+4}$ est un entier naturel si et seulement si $\boxed{n=9}$

2) $a^2-4b^2=a^2-(2b)^2=(a-2b)(a+2b)$ et $a-2b\leqslant a+2b$
$a^2-4b^2=20$ $\iff (a-2b)(a+2b)=20$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{a-2b=1}\\&{a+2b=20}\end{aligned}}\right.$ ou $\left\{{\begin{aligned}&{a-2b=2}\\&{a+2b=10}\end{aligned}}\right.$ ou $\left\{{\begin{aligned}&{a-2b=4}\\&{a+2b=5}\end{aligned}}\right.$
🔶$\left\{{\begin{aligned}&{a-2b=1}\\&{a+2b=20}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{2a=21 \iff a=\frac{21}{2}\notin \Bbb N}\\&{a+2b=20}\end{aligned}}\right.\;impossible$
🔶$\left\{{\begin{aligned}&{a-2b=2}\\&{a+2b=10}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{2a=12}\\&{a-2b=2}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{a=6}\\&{2b=a-2=4}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{a=6}\\&{b=2}\end{aligned}}\right.$
🔶$\left\{{\begin{aligned}&{a-2b=4}\\&{a+2b=5}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{2a=9\iff a=\frac{9}{2}\notin \Bbb N}\\&{a+2b=5}\end{aligned}}\right.\; impossible$

3) $\dfrac{59}{9}=a+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c}{9}$ $\iff 59=9a+3b+c$ $\iff c=59-9a-3b$
$c\geqslant 0$ $\iff 59-9a-3b\geqslant 0$ $\iff 9a+3b\leqslant 59$ $\iff 3a+b\leqslant \dfrac{59}{3}\simeq 19,6$ $\iff 3a+b\leqslant 19$ (car $3a+b\in \Bbb N$) $\iff b\leqslant 19-3a$
Conclusion : $\dfrac{59}{9}=a+\dfrac{b}{3}+\dfrac{c}{9}$ si et seulement si les entiers naturels a, b et c vérifient:
$\left\{{\begin{aligned}&{a\in \left\{{0;1;2;3;4;5;6}\right\}}\\&{b\leqslant 19-3a}\\&{c=59-9a-3b}\end{aligned}}\right.$
exemple : Choisissons $a=4$. Il faut que b vérifie $b\leqslant 19-3\times 4=7$, on choisit par exemple $b=5$, et finalement $c=59-9\times 4-3\times 5=8$