Exercice 6 --- (id : 682)
Géométrie analytique: Exercice 6
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1 Considérons le repère (O,i,j)(O,\vec i,\vec j)i=14AB\vec i=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} et j=14AD\vec j=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD}
Dans le repère (O,i,j)(O,\vec i,\vec j) on a : C(4;4)C(4;4) , E(2,5;0)E(2,5;0) , D(0;4)D(0;4) et F(4;2,5)F(4;2,5)
🔸 M(x;y)(CE)M(x;y)\in (CE)     CM(x4y4)\iff \overrightarrow{CM}\left({\begin{aligned}&{x-4}\\&{y-4}\end{aligned}}\right) et CE(1,54)\overrightarrow{CE}\left({\begin{aligned}&{-1,5}\\&{-4}\end{aligned}}\right) sont colinéaires     x41,5y44=0\iff \begin{vmatrix}{x-4}&{-1,5}\\{y-4}&{-4}\end{vmatrix}=0     4(x4)+1,5(y4)=0\iff -4(x-4)+1,5(y-4)=0     4x+1,5y+10=0\iff -4x+1,5y+10=0
Donc (CE):4x+1,5y+10=0\boxed{(CE): -4x+1,5y+10=0}
🔸 M(x;y)(DF)    M(x;y)\in (DF)\iff les vecteurs DM(xy4)\overrightarrow{DM}\left({\begin{aligned}&{x}\\&{y-4}\end{aligned}}\right) et DF(41,5)\overrightarrow{DF}\left({\begin{aligned}&{4}\\&{-1,5}\end{aligned}}\right) sont colinéaires     x4y41,5=0\iff \begin{vmatrix}{x}&{4}\\{y-4}&{-1,5}\end{vmatrix}=0     1,5x4(y4)=0\iff -1,5x-4(y-4)=0     1,5x4y+16=0\iff -1,5x-4y+16=0
Donc (DF):1,5x+4y16=0\boxed{(DF): 1,5x+4y-16=0}
2 K(x;y)(CE)(DF)K(x;y)\in (CE)\cap (DF)     {4x+1,5y+10=01,5x+4y16=0\iff \left\{{\begin{aligned}&{-4x+1,5y+10=0}\\&{1,5x+4y-16=0}\end{aligned}}\right.     {4x+32y+10=032x+4y16=0\iff \left\{{\begin{aligned}&{-4x+\dfrac{3}{2}y+10=0}\\&{\dfrac{3}{2}x+4y-16=0}\end{aligned}}\right.     {8x+3y+20=03x+8y32=0\iff \left\{{\begin{aligned}&{-8x+3y+20=0}\\&{3x+8y-32=0}\end{aligned}}\right.     {24x+9y+60=024x+64y256=0\iff \left\{{\begin{aligned}&{-24x+9y+60=0}\\&{24x+64y-256=0}\end{aligned}}\right.     {73y196=03x=328y\iff \left\{{\begin{aligned}&{73y-196=0}\\&{3x=32-8y}\end{aligned}}\right.     {y=19673x=13(328y)=25673\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=\dfrac{196}{73}}\\&{x=\dfrac{1}{3}(32-8y)=\dfrac{256}{73}}\end{aligned}}\right.
3 CE(1,54)\overrightarrow{CE}\left({\begin{aligned}&{-1,5}\\&{-4}\end{aligned}}\right) et DF(41,5)\overrightarrow{DF}\left({\begin{aligned}&{4}\\&{-1,5}\end{aligned}}\right)
🔸 Condition d'orthogonalité : aa+bb=(1,5)×4+(4)×(1,5)=6+6=0aa'+bb'=(-1,5)\times 4+(-4)\times (-1,5)=-6+6=0 donc les deux vecteurs sont orthogonaux d'où les segments [CE][CE] et [DF][DF] sont perpendiculaires.
🔸 CE=(1,5)2+(4)2=18,25CE=\sqrt{(-1,5)^2+(-4)^2}=\sqrt{18,25} et DF=42+(1,5)2=18,25DF=\sqrt{4^2+(-1,5)^2}=\sqrt{18,25} donc CE=DFCE=DF
solution de l'exercice n°6