1
Considérons le repère
( O , i ⃗ , j ⃗ ) (O,\vec i,\vec j) ( O , i , j ) où
i ⃗ = 1 4 A B → \vec i=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB} i = 4 1 A B et
j ⃗ = 1 4 A D → \vec j=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{AD} j = 4 1 A D
Dans le repère
( O , i ⃗ , j ⃗ ) (O,\vec i,\vec j) ( O , i , j ) on a :
C ( 4 ; 4 ) C(4;4) C ( 4 ; 4 ) ,
E ( 2 , 5 ; 0 ) E(2,5;0) E ( 2 , 5 ; 0 ) ,
D ( 0 ; 4 ) D(0;4) D ( 0 ; 4 ) et
F ( 4 ; 2 , 5 ) F(4;2,5) F ( 4 ; 2 , 5 )
🔸
M ( x ; y ) ∈ ( C E ) M(x;y)\in (CE) M ( x ; y ) ∈ ( CE ) ⟺ C M → ( x − 4 y − 4 ) \iff \overrightarrow{CM}\left({\begin{aligned}&{x-4}\\&{y-4}\end{aligned}}\right) ⟺ CM ( x − 4 y − 4 ) et
C E → ( − 1 , 5 − 4 ) \overrightarrow{CE}\left({\begin{aligned}&{-1,5}\\&{-4}\end{aligned}}\right) CE ( − 1 , 5 − 4 ) sont colinéaires
⟺ ∣ x − 4 − 1 , 5 y − 4 − 4 ∣ = 0 \iff \begin{vmatrix}{x-4}&{-1,5}\\{y-4}&{-4}\end{vmatrix}=0 ⟺ x − 4 y − 4 − 1 , 5 − 4 = 0 ⟺ − 4 ( x − 4 ) + 1 , 5 ( y − 4 ) = 0 \iff -4(x-4)+1,5(y-4)=0 ⟺ − 4 ( x − 4 ) + 1 , 5 ( y − 4 ) = 0 ⟺ − 4 x + 1 , 5 y + 10 = 0 \iff -4x+1,5y+10=0 ⟺ − 4 x + 1 , 5 y + 10 = 0
Donc
( C E ) : − 4 x + 1 , 5 y + 10 = 0 \boxed{(CE): -4x+1,5y+10=0} ( CE ) : − 4 x + 1 , 5 y + 10 = 0
🔸
M ( x ; y ) ∈ ( D F ) ⟺ M(x;y)\in (DF)\iff M ( x ; y ) ∈ ( D F ) ⟺ les vecteurs
D M → ( x y − 4 ) \overrightarrow{DM}\left({\begin{aligned}&{x}\\&{y-4}\end{aligned}}\right) D M ( x y − 4 ) et
D F → ( 4 − 1 , 5 ) \overrightarrow{DF}\left({\begin{aligned}&{4}\\&{-1,5}\end{aligned}}\right) D F ( 4 − 1 , 5 ) sont colinéaires
⟺ ∣ x 4 y − 4 − 1 , 5 ∣ = 0 \iff \begin{vmatrix}{x}&{4}\\{y-4}&{-1,5}\end{vmatrix}=0 ⟺ x y − 4 4 − 1 , 5 = 0 ⟺ − 1 , 5 x − 4 ( y − 4 ) = 0 \iff -1,5x-4(y-4)=0 ⟺ − 1 , 5 x − 4 ( y − 4 ) = 0 ⟺ − 1 , 5 x − 4 y + 16 = 0 \iff -1,5x-4y+16=0 ⟺ − 1 , 5 x − 4 y + 16 = 0
Donc
( D F ) : 1 , 5 x + 4 y − 16 = 0 \boxed{(DF): 1,5x+4y-16=0} ( D F ) : 1 , 5 x + 4 y − 16 = 0
2
K ( x ; y ) ∈ ( C E ) ∩ ( D F ) K(x;y)\in (CE)\cap (DF) K ( x ; y ) ∈ ( CE ) ∩ ( D F ) ⟺ { − 4 x + 1 , 5 y + 10 = 0 1 , 5 x + 4 y − 16 = 0 \iff \left\{{\begin{aligned}&{-4x+1,5y+10=0}\\&{1,5x+4y-16=0}\end{aligned}}\right. ⟺ { − 4 x + 1 , 5 y + 10 = 0 1 , 5 x + 4 y − 16 = 0
⟺ { − 4 x + 3 2 y + 10 = 0 3 2 x + 4 y − 16 = 0 \iff \left\{{\begin{aligned}&{-4x+\dfrac{3}{2}y+10=0}\\&{\dfrac{3}{2}x+4y-16=0}\end{aligned}}\right. ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ − 4 x + 2 3 y + 10 = 0 2 3 x + 4 y − 16 = 0
⟺ { − 8 x + 3 y + 20 = 0 3 x + 8 y − 32 = 0 \iff \left\{{\begin{aligned}&{-8x+3y+20=0}\\&{3x+8y-32=0}\end{aligned}}\right. ⟺ { − 8 x + 3 y + 20 = 0 3 x + 8 y − 32 = 0
⟺ { − 24 x + 9 y + 60 = 0 24 x + 64 y − 256 = 0 \iff \left\{{\begin{aligned}&{-24x+9y+60=0}\\&{24x+64y-256=0}\end{aligned}}\right. ⟺ { − 24 x + 9 y + 60 = 0 24 x + 64 y − 256 = 0
⟺ { 73 y − 196 = 0 3 x = 32 − 8 y \iff \left\{{\begin{aligned}&{73y-196=0}\\&{3x=32-8y}\end{aligned}}\right. ⟺ { 73 y − 196 = 0 3 x = 32 − 8 y
⟺ { y = 196 73 x = 1 3 ( 32 − 8 y ) = 256 73 \iff \left\{{\begin{aligned}&{y=\dfrac{196}{73}}\\&{x=\dfrac{1}{3}(32-8y)=\dfrac{256}{73}}\end{aligned}}\right. ⟺ ⎩ ⎨ ⎧ y = 73 196 x = 3 1 ( 32 − 8 y ) = 73 256
3
C E → ( − 1 , 5 − 4 ) \overrightarrow{CE}\left({\begin{aligned}&{-1,5}\\&{-4}\end{aligned}}\right) CE ( − 1 , 5 − 4 ) et
D F → ( 4 − 1 , 5 ) \overrightarrow{DF}\left({\begin{aligned}&{4}\\&{-1,5}\end{aligned}}\right) D F ( 4 − 1 , 5 )
🔸 Condition d'orthogonalité :
a a ′ + b b ′ = ( − 1 , 5 ) × 4 + ( − 4 ) × ( − 1 , 5 ) = − 6 + 6 = 0 aa'+bb'=(-1,5)\times 4+(-4)\times (-1,5)=-6+6=0 a a ′ + b b ′ = ( − 1 , 5 ) × 4 + ( − 4 ) × ( − 1 , 5 ) = − 6 + 6 = 0 donc les deux vecteurs sont orthogonaux d'où les segments
[ C E ] [CE] [ CE ] et
[ D F ] [DF] [ D F ] sont perpendiculaires.
🔸
C E = ( − 1 , 5 ) 2 + ( − 4 ) 2 = 18 , 25 CE=\sqrt{(-1,5)^2+(-4)^2}=\sqrt{18,25} CE = ( − 1 , 5 ) 2 + ( − 4 ) 2 = 18 , 25 et
D F = 4 2 + ( − 1 , 5 ) 2 = 18 , 25 DF=\sqrt{4^2+(-1,5)^2}=\sqrt{18,25} D F = 4 2 + ( − 1 , 5 ) 2 = 18 , 25 donc
C E = D F CE=DF CE = D F