Géométrie analytique : Exercice 3 2ème année secondaire
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76 exercices
Exercice 3 --- (id : 761)
correction
a
Soit $R$ le centre du cercle $(C)
Le cercle $(C)$ de centre le point $C(-2;0)$ et de rayon $R$ est tangent à la droite $D$ d'équation $4x-y-9=0$ $\iff d(C,D)=R$ $\iff \dfrac{|4\times (-2)-0-9|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}}=R$ $\iff R=\dfrac{17}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}$
Donc $(C)$ admet pour équation réduite : $(x+2)^2+(y-0)^2=(\sqrt{17})^2$ ou encore $(x+2)^2+y^2=17$
Le cercle $(C)$ de centre le point $C(-2;0)$ et de rayon $R$ est tangent à la droite $D$ d'équation $4x-y-9=0$ $\iff d(C,D)=R$ $\iff \dfrac{|4\times (-2)-0-9|}{\sqrt{4^2+(-1)^2}}=R$ $\iff R=\dfrac{17}{\sqrt{17}}=\sqrt{17}$
Donc $(C)$ admet pour équation réduite : $(x+2)^2+(y-0)^2=(\sqrt{17})^2$ ou encore $(x+2)^2+y^2=17$
b
Le cercle $(C)$ de centre le point $I(a,b)$ et de rayon $R>0$ admet pour équation réduite : $(x-a)^2+(y-b)^2=R^2$
🔸 $(C)$ passe par le point $P(3;-6)$ $\iff (3-a)^2+(-6-b)^2=R^2$
🔸 $(C)$ tangent à $(Ox)$ (d'équation $y=0$) $\iff d(I,(Ox))=R$ $\iff \dfrac{|b|}{\sqrt{0^2+1^2}}=R$ $\iff |b|=R$
🔸 $(C)$ tangent à $(Oy)$ (d'équation $x=0$) $\iff d(I,(Oy))=R$ $\iff \dfrac{|a|}{\sqrt{1^2+0^2}}=R$ $\iff |a|=R$
🔸 $(C)$ est tangent aux axes $(Ox)$ et $(Oy)$ dont $(C)$ est situé dans l'une des qutre parties du plan: $P1:(x>0\;et\;y>0)$ ; $P2:(x<0\;et\;y>0)$ ; $P3:(x<0\;et\;y<0)$ et $P4(x>0\;et\;y<0)$ et puisque $(C)$ passe par le point $P(3;-6)\in P4$ donc $(C)$ est situé dans $P4$ et son centre $I$ aussi d'où $a>0$ et $b<0$
Alors $a=R$ et $b=-R$
🔸 $(3-a)^2+(-6-b)^2=R^2$ $\iff (3-R)^2+(-6+R)^2=R^2$ $\iff 9-6R+R^2+36-12R+R^2=R^2$ $\iff R^2-18R+45=0$; $\Delta=144=12^2$ donc $R=\dfrac{18+12}{2}=15$ ou $R=\dfrac{18-12}{2}=3$
Donc le problème admet deux solutions :
le cercle $C1$ d'équation réduite : $(x-15)^2+(y+15)^2=15^2$
le cercle $C2$ d'équation réduite : $(x-3)^2+(y+3)^2=3^2$
🔸 $(C)$ passe par le point $P(3;-6)$ $\iff (3-a)^2+(-6-b)^2=R^2$
🔸 $(C)$ tangent à $(Ox)$ (d'équation $y=0$) $\iff d(I,(Ox))=R$ $\iff \dfrac{|b|}{\sqrt{0^2+1^2}}=R$ $\iff |b|=R$
🔸 $(C)$ tangent à $(Oy)$ (d'équation $x=0$) $\iff d(I,(Oy))=R$ $\iff \dfrac{|a|}{\sqrt{1^2+0^2}}=R$ $\iff |a|=R$
🔸 $(C)$ est tangent aux axes $(Ox)$ et $(Oy)$ dont $(C)$ est situé dans l'une des qutre parties du plan: $P1:(x>0\;et\;y>0)$ ; $P2:(x<0\;et\;y>0)$ ; $P3:(x<0\;et\;y<0)$ et $P4(x>0\;et\;y<0)$ et puisque $(C)$ passe par le point $P(3;-6)\in P4$ donc $(C)$ est situé dans $P4$ et son centre $I$ aussi d'où $a>0$ et $b<0$
Alors $a=R$ et $b=-R$
🔸 $(3-a)^2+(-6-b)^2=R^2$ $\iff (3-R)^2+(-6+R)^2=R^2$ $\iff 9-6R+R^2+36-12R+R^2=R^2$ $\iff R^2-18R+45=0$; $\Delta=144=12^2$ donc $R=\dfrac{18+12}{2}=15$ ou $R=\dfrac{18-12}{2}=3$
Donc le problème admet deux solutions :
le cercle $C1$ d'équation réduite : $(x-15)^2+(y+15)^2=15^2$
le cercle $C2$ d'équation réduite : $(x-3)^2+(y+3)^2=3^2$