Suites : Exercice 27 2ème année secondaire
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86 exercices
Exercice 27 --- (id : 278)
correction
1
a
$U_1=\dfrac{1}{4}U_0+3$ $=\dfrac{3}{4}+3=\dfrac{15}{4}$
$U_2=\dfrac{1}{4}U_1+3$ $=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{15}{4}+3=\dfrac{15}{16}+3=\dfrac{63}{16}$
$U_2=\dfrac{1}{4}U_1+3$ $=\dfrac{1}{4}\times\dfrac{15}{4}+3=\dfrac{15}{16}+3=\dfrac{63}{16}$
b
$\dfrac{U_1}{U_0}=\dfrac{\dfrac{15}{4}}{3}=\dfrac{15}{12}=\dfrac{5}{4}$
$\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{\frac{63}{16}}{\frac{15}{4}}$ $=\dfrac{63}{16}\times\dfrac{4}{15}=\dfrac{21}{20}$
$\dfrac{U_2}{U_1}\neq \dfrac{U_1}{U_0}$ donc $(U_n)$ n'est pas une suite géométrique.
$\dfrac{U_2}{U_1}=\dfrac{\frac{63}{16}}{\frac{15}{4}}$ $=\dfrac{63}{16}\times\dfrac{4}{15}=\dfrac{21}{20}$
$\dfrac{U_2}{U_1}\neq \dfrac{U_1}{U_0}$ donc $(U_n)$ n'est pas une suite géométrique.
2
a
$V_{n+1}=U_{n+1}-4=\dfrac{1}{4}U_n+3-4=\dfrac{1}{4}U_n-1=\dfrac{1}{4}(U_n-4)=\dfrac{1}{4}V_n$ donc $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $q=\dfrac{1}{4}$ et de premier terme $V_0=U_0-4=-1$
b
$V_n=V_0q^n$ $\iff V_n=-\left({\dfrac{1}{4}}\right)^n$
$V_n=U_n-4$ $\iff U_n=V_n+4$ $\iff U_n=-\left({\dfrac{1}{4}}\right)^n+4$
$V_n=U_n-4$ $\iff U_n=V_n+4$ $\iff U_n=-\left({\dfrac{1}{4}}\right)^n+4$