Exercice 18 --- (id : 763)
Géométrie analytique: Exercice 18
correction
a Soit Δ\Delta la perpendiculaire à (AB)(AB) passant par AA
AB(53)\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{-5}\\&{-3}\end{aligned}}\right) est un vecteur normal à Δ\Delta donc Δ:5x3y+c=0\Delta : -5x-3y+c=0
A(4;3)ΔA(4;3)\in\Delta     5×43×3+c=0\iff -5\times 4-3\times 3+c=0     c=c=29\iff c=c=29
Donc Δ:5x3y+29=0\Delta : -5x-3y+29=0     Δ:5x+3y29=0\iff \colorbox{SaddleBrown}{$\Delta : 5x+3y-29=0$}
C(x;y)ΔdC(x;y)\in \Delta \cap d     {2xy+6=05x+3y29=0\iff \left\{{\begin{aligned}&{2x-y+6=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.     {6x3y+18=05x+3y29=0\iff \left\{{\begin{aligned}&{6x-3y+18=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.     {11x11=05x+3y29=0\iff \left\{{\begin{aligned}&{11x-11=0}\\&{5x+3y-29=0}\end{aligned}}\right.     {x=1111=1y=13(295x)=8\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=\dfrac{11}{11}=1}\\&{y=\dfrac{1}{3}(29-5x)=8}\end{aligned}}\right. Donc C(1;8)\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{C(1;8)}
b 🔸AB=(5)2+(3)2AB=\sqrt{(-5)^2+(-3)^2} =25+9=34=\sqrt{25+9}=\sqrt{34}
🔸BC=(1(1))2+(80)2BC=\sqrt{(1-(-1))^2+(8-0)^2} =4+64=68=217=\sqrt{4+64}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}
🔸CA=(14)2+(83)2=9+25=34CA=\sqrt{(1-4)^2+(8-3)^2}=\sqrt{9+25}=\sqrt{34}
Périmètre =AB+BC+CA=234+217=AB+BC+CA=2\sqrt{34}+2\sqrt{17}
Aire =AB×AC2=34342=17=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{\sqrt{34}\sqrt{34}}{2}=17
c ABCABC est un triangle rectangle en AA donc le milieu du segment [BC][BC] est le centre de son cercle circonscrit 𝒞𝒞.
I=BCI=B*C le milieu de [BC][BC] admet pour coordonnées (0;4)(0;4) Alors 𝒞𝒞 est le cercle de centre II et de rayon IA=BC2=17IA=\dfrac{BC}{2}=\sqrt{17}
𝒞:(x0)2+(y4)2=(17)2𝒞 : (x-0)^2+(y-4)^2=(\sqrt{17})^2     𝒞:x2+(y4)2=17\iff \fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$𝒞 : x^2+(y-4)^2=17$}