Géométrie analytique : Exercice 16 2ème année secondaire

a $\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{4}\\&{-2}\end{aligned}}\right)$ ; $\overrightarrow{AC}\left({\begin{aligned}&{2}\\&{1}\end{aligned}}\right)$ et $\begin{vmatrix}{4}&{2}\\{-2}&{1}\end{vmatrix}=8\neq 0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires et par suite les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés.

b $-\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{-2}\\&{1}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur directeur de la droite $(AB)$ donc une équation cartésienne de $(AB)$ est de la forme : $x+2y+c=0$ où $c$ est un réel
$A(-1;2)\in (AB)$ $\iff (-1)+2\times 2+c=0$ $\iff c=-3$ donc $\colorbox{SaddleBrown}{$(AB):\;x+2y-3=0$}$

a $d(C,(AB))=\dfrac{|1+2\times 3-3|}{\sqrt{1^2+2^2}}$ $=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$

b Soit $H$ le projeté orthogonal de $C$ sur $(AB)$ on a:
$CH=d(C,(AB))=\dfrac{4}{\sqrt{5}}$ donc l'aire du triangle $ABC$ est :
$𝒜=\dfrac{AB\times CH}{2}$ $=\dfrac{\sqrt{4^2+(-2)^2}\times \frac{4}{\sqrt{5}}}{2}$ $=\dfrac{4\sqrt{20}}{2\sqrt{5}}=\dfrac{8\sqrt{5}}{2\sqrt{5}}=4$