Géométrie analytique : Exercice 15 2ème année secondaire

a On note les points $\left\{{A}\right\}=d_1\cap d_2$; $\left\{{B}\right\}=d_1\cap d_3$ et $\left\{{C}\right\}=d_2\cap d_3$
🔸 $\left\{{A(x,y)}\right\}=d_1\cap d_2$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=4}\\&{y=2-x}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=4}\\&{y=2-4=-2}\end{aligned}}\right.$
🔸 $\left\{{B(x,y)}\right\}=d_1\cap d_3$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=4}\\&{x-4y+14=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=4}\\&{y=\dfrac{1}{4}(x+14)}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=4}\\&{y=\dfrac{9}{2}}\end{aligned}}\right.$
🔸 $\left\{{C(x,y)}\right\}=d_2\cap d_3$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=2-x}\\&{x-4y+14=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=2-x}\\&{x-4(2-x)+14=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=2-x}\\&{5x+6=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=-\dfrac{6}{5}}\\&{y=2+\dfrac{6}{5}=\dfrac{16}{5}}\end{aligned}}\right.$
Conclusion: $A\left({4;-2}\right)$, $B\left({4;\dfrac{9}{2}}\right)$ et $C\left({-\dfrac{6}{5};\dfrac{16}{5}}\right)$

b

🔸 Première méthode

Soit $𝒞$ le cercle circonscrit au triangle $ABC$ son équation est de la forme $x^2+y^2+ax+by+c=0$ où $a,\;b\;et\;c$ des réels. $$\begin{align*} &𝒞 \text{est le cercle circonscrit au triangle} ABC\\ &\iff A\in 𝒞,\;B\in C\;et\;C\in 𝒞\\ &\iff {\begin{aligned}&{L_1}\\&{L_2}\\&{L_3}\end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&{4^2+(-2)^2+4a-2b+c=0}\\&{4^2+\left({\frac{9}{2}}\right)^2+4a+\frac{9}{2}b+c=0}\\&{\left({-\frac{6}{5}}\right)^2+\left({\frac{16}{5}}\right)^2-\frac{6}{5}a+\frac{16}{5}b+c=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff {\begin{aligned}&{L_1}\\&{L_2}\\&{L_3}\end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&{4a-2b+c+20=0}\\&{4a+\frac{9}{2}b+c+\frac{145}{4}=0}\\&{-\frac{6}{5}a+\frac{16}{5}b+c+\dfrac{292}{25}=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff {\begin{aligned}&{L_1}\\&{L_2-L_1}\\&{L_3}\end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&{4a-2b+c+20=0}\\&{\frac{13}{2}b+\frac{65}{4}=0}\\&{-\frac{6}{5}a+\frac{16}{5}b+c+\dfrac{292}{25}=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff {\begin{aligned}&{L2-L_1}\\&{L_1}\\&{L_3}\end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&{b=-\dfrac{65}{26}=-\frac{5}{2}}\\&{4a+c+25=0}\\&{-6a+5c+\frac{92}{5}=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff {\begin{aligned}&{L2-L_1}\\&{5L_1-L3}\\&{L_1}\end{aligned}}\left\{{\begin{aligned}&{b=-\dfrac{65}{26}=-\frac{5}{2}}\\&{26a+\dfrac{533}{5}=0}\\&{4a+c+25=0}\end{aligned}}\right.\\ &\iff \left\{{\begin{aligned}&{b=-\dfrac{65}{26}=-\frac{5}{2}}\\&{a=-\frac{41}{10}}\\&{c=-4a-25=-\dfrac{43}{5}}\end{aligned}}\right.\\ \end{align*}$$ Conclusion:
$𝒞$ admet pour équation : $x^2+y^2-\dfrac{41}{10}x-\dfrac{5}{2}y-\dfrac{43}{5}=0$

🔸 Deuxième méthode

Le centre de $𝒞$ est le point $I(x,y)$ intersection des médiatrices $(m_1)$ et $(m_2)$ des segments $[AB]$ et $[AC]$ respectivement

Equation de $(m_1)$ médiatrice de $[AB]$

$\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{0}\\&{\dfrac{13}{2}}\end{aligned}}\right)=\dfrac{13}{2}\left({\begin{aligned}&{0}\\&{1}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur normal pour la médiatrice $(m_1)$ donc $(m_1):0\times x+1\times y+c=0$ où $c$ est un réel ou encore $(m_1):y+c=0$
$A*B\left({4;\dfrac{5}{4}}\right)\in (m_1)$ $\iff \dfrac{5}{4}+c=0$ $\iff c=-\dfrac{5}{4}$
Donc $(m_1):y-\dfrac{5}{4}=0$

Equation de $(m_2)$ médiatrice de $[AC]$

$\overrightarrow{AC}\left({\begin{aligned}&{-\dfrac{26}{5}}\\&{\dfrac{26}{5}}\end{aligned}}\right)=\dfrac{26}{5}\left({\begin{aligned}&{-1}\\&{1}\end{aligned}}\right)$ est un vecteur normal pour la médiatrice $(m_2)$ donc $(m_2):-1\times x+1\times y+c=0$ où $c\in \Bbb R$ ou encore $(m_2):-x+y+c=0$
$A*C\left({\dfrac{7}{5};\dfrac{3}{5}}\right)\in (m_2)$ $\iff -\dfrac{7}{5}+\dfrac{3}{5}+c=0$ $\iff c=\dfrac{4}{5}$
Donc $(m_2):-x+y+\dfrac{4}{5}=0$

Les coordonnées du point I

$\left\{{I(x,y)}\right\}=(m_1)\cap (m_2)$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y-\dfrac{5}{4}=0}\\&{-x+y+\dfrac{4}{5}=0}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{y=\dfrac{5}{4}}\\&{x=y+\dfrac{4}{5}}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{x=\dfrac{5}{4}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{41}{20}}\\&{y=\dfrac{5}{4}}\end{aligned}}\right.$ Donc $I\left({\dfrac{41}{20};\dfrac{5}{4}}\right)$ Alors $𝒞$ est le cercle de centre $I$ et de rayon $R=IA=\sqrt{\left({4-\dfrac{41}{20}}\right)^2+\left({-2-\dfrac{5}{4}}\right)^2}$ $=\sqrt{\left({\dfrac{39}{20}}\right)^2+\left({\dfrac{13}{4}}\right)^2}$ $=\dfrac{\sqrt{5746}}{20}$
Conclusion: $𝒞$ admet pour équation $\left({x-\dfrac{41}{20}}\right)^2+\left({y-\dfrac{5}{4}}\right)^2=\dfrac{2873}{200}$
Vérifier que la forme non réduite de cette équation est exactement l'équation trouvée dans la première méthode.