Trigonométrie : Exercice 14 2ème année secondaire
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Exercice 14 --- (id : 811)
correction
Rappels
☑ Pour tout réel x ;
$\cos^2x+\sin^2x=1$ $\iff \cos^2x=1-\sin^2x$ $\iff \sin^2x=1-\cos^2x$
☑ Pour tout réel x; $\cos x \in \left[{-1;1}\right]$ et $\sin x \in \left[{-1;1}\right]$
☑ Pour tout réel x on a :
$\cos(\pi-x)=-\cos x$
$\sin(\pi-x)=\sin x$
1
a
Posons $t=\cos x$
$2\cos^2x-\cos x+1=0$ $\iff 2t^2-t+1=0$
$\Delta=(-1)^2-4\times 2 \times 1=-7<0$ donc l'équation n'admet aucune solution.
$2\cos^2x-\cos x+1=0$ $\iff 2t^2-t+1=0$
$\Delta=(-1)^2-4\times 2 \times 1=-7<0$ donc l'équation n'admet aucune solution.
b
$(3-2\sin x)(\sqrt{2}\sin x-1)=0$ $\iff 3-2\sin x=0$ ou $\sqrt{2}\sin x-1=0$ $\iff \sin x=\dfrac{3}{2}\notin \left[{-1;1}\right]$ ou $\sin x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\iff x=\dfrac{\pi}{4}$ ou $x=\pi-\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{3\pi}{4}$
2
$$\begin{align*}
&\sin^3x+\sin x.\cos^2x\\
&=\sin^3x+\sin x.(1-\sin^2x)\\
&=\sin^3x+\sin x -\sin^3x\\
&=\sin x
\end{align*}$$
3
$$\begin{align*}
&\dfrac{1}{1-\sin x}+\dfrac{1}{1+\sin x}\\
&=\dfrac{1+\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}+\dfrac{1-\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)}\\
&=\dfrac{1+\sin x+1-\sin x}{1-\sin^2x}\\
&=\dfrac{2}{\cos^2x}
\end{align*}$$
4
$$\begin{align*}
A&=\cos\left({\dfrac{\pi}{16}}\right)+\cos\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\cos\left({\dfrac{13\pi}{16}}\right)+\cos\left({\dfrac{15\pi}{16}}\right)\\
&=\cos\left({\dfrac{\pi}{16}}\right)+\cos\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\cos\left({\pi-\dfrac{3\pi}{16}}\right)+\cos\left({\pi-\dfrac{\pi}{16}}\right)\\
&=\cos\left({\dfrac{\pi}{16}}\right)+\cos\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)-\cos\left({\dfrac{3\pi}{16}}\right)-\cos\left({\dfrac{\pi}{16}}\right)\\
&=0
\end{align*}$$