Géométrie analytique : Exercice 13 2ème année secondaire

a $I(x_I;y_I)=A*B$ avec $x_I=\dfrac{x_A+x_B}{2}=\dfrac{3-2}{2}=\dfrac{1}{2}$ et $y_I=\dfrac{y_A+y_B}{2}=\dfrac{5+1}{2}=3$ donc $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$I\left({\dfrac{1}{2};3}\right)$}$

b $M(x;y)\in (AB)$ $\iff \overrightarrow{AM}\left({\begin{aligned}&{x-3}\\&{y-5}\end{aligned}}\right)$ et $\overrightarrow{AB}\left({\begin{aligned}&{-5}\\&{-4}\end{aligned}}\right)$ colinéaires $\iff \begin{vmatrix}{x-3}&{-5}\\{y-5}&{-4}\end{vmatrix}=0$ $\iff -4(x-3)+5(y-5)=0$ $\iff -4x+5y-13=0$ donc : $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$(AB): 4x-5y+13=0$}$

c $\Delta \perp (AB)$ donc le vecteur $\overrightarrow{n}\left({\begin{aligned}&{4}\\&{-5}\end{aligned}}\right)$ normal à $(AB)$ est un vecteur directeur de $\Delta$ d'où $\Delta : -5x-4y+c=0$ où $c$ est un réel.
$I=A*B\left({\dfrac{1}{2};3}\right)\in \Delta$ $\iff -5\left({\dfrac{1}{2}}\right)-4\times 3+c=0$ $\iff c=\dfrac{29}{2}$ $\Longrightarrow \Delta: -5x-4y+\dfrac{29}{2}=0$ donc $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$\Delta : 10x+8y-29=0$}$

a 🔸 Coefficient directeur de $(AC)=\dfrac{y_C-y_A}{x_C-x_A}$ $=\dfrac{-1-5}{-2-3}=\dfrac{-6}{-5}=\dfrac{6}{5}$
🔸 Pour la droite $(BC)$ on a : $x_C=x_B=-2$ donc c'est une droite parallèle à l'axe des ordonnées et n'admet pas de coefficient directeur.

b 🔸 $(AC): y=mx+p=\dfrac{6}{5}x+p$ où $p\in \Bbb R$
$A(3;5)\in (AC)$ $\iff 5=\dfrac{6}{5}\times 3+p$ $\iff p=5-\dfrac{18}{5}=\dfrac{7}{5}$ donc $\fcolorbox{yellow}{SaddleBrown}{$(AC):y=\dfrac{6}{5}x+\dfrac{7}{5}$}$
🔸 $(BC)$ n'admet pas d'équation réduite mais elle admet une équation cartésienne $x=-2$