Suites : Exercice 12 2ème année secondaire

1 $V_{n+1}=\dfrac{1}{2^{n+1}}=\dfrac{1}{2\times 2^n}$ $=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{1}{2^n}=\dfrac{1}{2}V_n$ donc $(V_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$

2 $$\begin{align*} &V_0+V_1+...+V_{n-1}=\sum\limits_{k=0}^{n-1}{V_k} \\ &=V_0\dfrac{1-\left({\dfrac{1}{2}}\right)^n}{1-\dfrac{1}{2}} \\ &=2\left({1-\left({\dfrac{1}{2}}\right)^n}\right) \\ &=2\left({1-\dfrac{1}{2^n}}\right) \\ &=2\dfrac{2^n-1}{2^n}=\dfrac{2^n-1}{2^{n-1}} \end{align*}$$

3 $$\begin{align*} &1+\fr{1}{2}+\fr{1}{4}+...+\fr{1}{1024} \\ &=\fr{1}{2^0}+\fr{1}{2^1}+\fr{1}{2^2}+...+\fr{1}{2^{10}} \\ &=\sum_{k=0}^{10}{V_k}=\dfrac{2^{11}-1}{2^{10}} \;;\text{On prend n=11 dans 2)}\\ &=\dfrac{2047}{1024} \end{align*}$$