Trigonométrie : Exercice 1 2ème année secondaire
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24 exercices
Exercice 1 --- (id : 613)
correction
1
a-
La loi du sinus : $\dfrac{a}{\sin\widehat{BAC}}=\dfrac{b}{\sin\widehat{ABC}}=\dfrac{c}{\sin\widehat{BCA}}$
b-
$\dfrac{a}{\sin\widehat{BAC}}=\dfrac{b}{\sin\widehat{ABC}}$ $\iff \sin\widehat{ABC}=\dfrac{b}{a}\sin\widehat{BAC}$
$\iff \sin\widehat{ABC}=\dfrac{3\sqrt{2}}{6}\sin\dfrac{\pi}{4}$ $\iff \sin\widehat{ABC}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\iff \sin\widehat{ABC}=\dfrac{2}{4}$ $\iff \boxed{\sin\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}}$
2
a-
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{BAC}$
b-
$a^2=b^2+c^2-2bc\cos\widehat{BAC}$
$\iff 36=18+c^2-2\times3\sqrt{2}c\times\cos\dfrac{\pi}{4}$
$\iff 18=c^2-6\sqrt{2}c\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\iff c^2-6c-18=0$
$\Delta=36+4\times18=108=36\times3>0$ donc $c=\dfrac{6+\sqrt{108}}{2}$ ou $c=\dfrac{6-\sqrt{108}}{2}$ $\iff c=\dfrac{6+6\sqrt{3}}{2}$ ou $c=\dfrac{6-6\sqrt{3}}{2}<0\;impossible$ $\iff \boxed{c=3+3\sqrt{3}}$
$\iff 36=18+c^2-2\times3\sqrt{2}c\times\cos\dfrac{\pi}{4}$
$\iff 18=c^2-6\sqrt{2}c\times\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$\iff c^2-6c-18=0$
$\Delta=36+4\times18=108=36\times3>0$ donc $c=\dfrac{6+\sqrt{108}}{2}$ ou $c=\dfrac{6-\sqrt{108}}{2}$ $\iff c=\dfrac{6+6\sqrt{3}}{2}$ ou $c=\dfrac{6-6\sqrt{3}}{2}<0\;impossible$ $\iff \boxed{c=3+3\sqrt{3}}$
3
Soit $H$ le projeté orthogonal du point $C$ sur $[AB]$
$\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{CH}{b}$ $\iff \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{CH}{3\sqrt{2}}$ $\iff CH=\dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}=3$
Donc l'aire $𝒜$ du triangle $ABC$ est telle que $𝒜=\dfrac{AB\times CH}{2}$ $\iff \boxed{𝒜=\dfrac{3(3+3\sqrt{3})}{2}=\dfrac{9(1+\sqrt{3})}{2}}$
$\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{CH}{b}$ $\iff \dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{CH}{3\sqrt{2}}$ $\iff CH=\dfrac{3\sqrt{2}\sqrt{2}}{2}=3$
Donc l'aire $𝒜$ du triangle $ABC$ est telle que $𝒜=\dfrac{AB\times CH}{2}$ $\iff \boxed{𝒜=\dfrac{3(3+3\sqrt{3})}{2}=\dfrac{9(1+\sqrt{3})}{2}}$