Equations et inéquations : Exercice 8 première année secondaire

a) $$\begin{align*} &🔶    \frac{x-2}{4}-\frac{2-x}{2}=3 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{x-2}{4}-\frac{2(2-x)}{4}=3 \\ &\text{équivaut}\;\; x-2-4+2x=12 \\ &\text{équivaut}\;\; 3x=18 \\ &\text{équivaut}\;\; x=\frac{18}{3}=6 \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left\{{6}\right\}} \end{align*}$$

b) $$\begin{align*} &🔶    \sqrt{2}-\sqrt{2}x+x=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \sqrt{2}+(1-\sqrt{2})x=0 \\ &\text{équivaut}\;\; (1-\sqrt{2})x=-\sqrt{2} \\ &\text{équivaut}\;\; x=\frac{-\sqrt{2}}{1-\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}-1} \\ &\text{équivaut}\;\; x=\frac{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} \\ &\text{équivaut}\;\; x=\frac{2+\sqrt{2}}{2-1}=2+\sqrt{2} \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left\{{2+\sqrt{2}}\right\}} \end{align*}$$

a) $$\begin{align*} &🔶    1+2x>x-2 \\ &\text{équivaut}\;\; 2x-x>-2-1 \\ &\text{équivaut}\;\; x>-3 \\ &\text{équivaut}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left]{-3,+\infty}\right[} \end{align*}$$

b) $$\begin{align*} &🔶    \frac{x-1}{5}+\frac{2-x}{3}\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{3(x-1)}{15}+\frac{5(2-x)}{15}\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{3(x-1)+5(2-x)}{15}\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; 3(x-1)+5(2-x)\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; 3x-3+10-5x\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; -2x+7\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; -2x\leqslant -7 \\ &\text{équivaut}\;\; x\geqslant \frac{-7}{-2}=\frac{7}{2} \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left[{\frac{7}{2},+\infty}\right[} \end{align*}$$