Equations et inéquations : Exercice 4 première année secondaire

a) $$\begin{align*} &x^2+2x=(x+2)(1-3x) \\ &\text{éq}\;\; x(x+2)-(x+2)(1-3x)=0 \\ &\text{éq}\;\; (x+2)\left[{x-(1-3x)}\right]=0 \\ &\text{éq}\;\; (x+2)(x-1+3x)=0 \\ &\text{éq}\;\; (x+2)(4x-1)=0 \\ &\text{éq}\;\; x+2=0\;  ou  \;4x-1=0 \\ &\text{éq}\;\; x=-2\;  ou  \;4x=1 \\ &\text{éq}\;\; \boxed{x=-2 \; ou \; x=\frac{1}{4} } \end{align*}$$

b) $$\begin{align*} &\frac{3x-1}{2}+\frac{5x+2}{3}=0 \\ &\text{éq}\;\; \frac{3(3x-1)}{6}+\frac{2(5x+2)}{6}=0 \\ &\text{éq}\;\; 3(3x-1)+2(5x+2)=0 \\ &\text{éq}\;\; 9x-3+10x+4=0  \\ &\text{éq}\;\; 19x+1=0 \\ &\text{éq}\;\; 19x=-1 \\ &\text{éq}\;\; \boxed{x=-\frac{1}{19} } \end{align*}$$

a) $$\begin{align*} &5(2-x)-3(5x-1)\geqslant \frac{3}{4}x \\ &\text{éq}\;\; 10-5x-15x+3-\frac{3}{4}x\geqslant 0 \\ &\text{éq}\;\; -20x-\frac{3}{4}x+13\geqslant 0 \\ &\text{éq}\;\; \frac{-80}{4}x-\frac{3}{4}x+13\geqslant 0 \\ &\text{éq}\;\; \frac{83}{4}x\leqslant 13 \\ &\text{éq}\;\; x\leqslant 13\times\frac{ 4}{83} \\ &\text{éq}\;\; x\leqslant \frac{52}{83} \\ &\text{éq}\;\; \boxed{x\in \left]{-\infty,\frac{52}{83}}\right] } \end{align*}$$

b) $$\begin{align*} &2x+\frac{2x+3}{5}\geqslant \frac{3}{4}(2x-1)-\frac{9}{2} \\ &\text{éq}\;\; \frac{40x}{20}+\frac{4(2x+3)}{20}\geqslant \frac{15(2x-1)}{20}-\frac{90}{20} \\ &\text{éq}\;\; 40x+4(2x+3) \geqslant 15(2x-1)-90 \\ &\text{éq}\;\; 40x+8x+12\geqslant 30x-15-90 \\ &\text{éq}\;\; 48x+12\geqslant 30x-105 \\ &\text{éq}\;\; 48x-30x\geqslant -105-12 \\ &\text{éq}\;\; 18x\geqslant -117 \\ &\text{éq}\;\; x\geqslant -\frac{117}{18} \\ &\text{éq}\;\; \boxed{x\in \left[{-\frac{117}{18},+\infty}\right[} \end{align*}$$