Equations et inéquations : Exercice 27 première année secondaire

a) $$\begin{align*} &\dfrac{2x-3}{x+2}=\dfrac{5}{4} \\ \text{équivaut}\;\;& 4(2x-3)=5(x+2)\; et \; x\neq -2 \\ \text{équivaut}\;\;& 8x-12=5x+10 \; et \; x\neq -2\\ \text{équivaut}\;\;& 8x-5x=12+10 \; et \; x\neq -2\\ \text{équivaut}\;\;& 3x=22 \; et \; x\neq -2 \\ \text{équivaut}\;\;& x=\dfrac{22}{3} \\ \text{Donc}\;\;& \boxed{S_\Bbb R=\left\{{\dfrac{22}{3}}\right\}}\end{align*}$$

b) $$\begin{align*} &x(x-2)-1=0 \\ \text{équivaut}\;\;& (x^2-2x)-1=0 \\ \text{équivaut}\;\;& ((x-1)^2-1^2)-1=0\;\;(d'après\;\;(1))\\ \text{équivaut}\;\;& (x-1)^2-2=0\\ \text{équivaut}\;\;& (x-1)^2-(\sqrt{2})^2=0\\ \text{équivaut}\;\;& (x-1-\sqrt{2})(x-1+\sqrt{2})=0\\ \text{équivaut}\;\;& x-1-\sqrt{2}=0\;ou\;x-1+\sqrt{2}=0\\ \text{équivaut}\;\;& x=1+\sqrt{2}\;ou\;x=1-\sqrt{2} \\ \text{Donc}\;\;& \boxed{S_\Bbb R=\left\{{1-\sqrt{2};1+\sqrt{2}}\right\}} \end{align*}$$

a) $$\begin{align*} &|2x+1|\geqslant 3 \\ \text{équivaut}\;\;& 2x+1\geqslant 3\;ou\;2x+1\leqslant -3\;\;(d'après\;\;(2)) \\ \text{équivaut}\;\;& 2x\geqslant 2\;ou\;2x\leqslant -4\\ \text{équivaut}\;\;& x\geqslant \dfrac{2}{2}\;ou\;x\leqslant \dfrac{-4}{2}\\ \text{équivaut}\;\;& x\geqslant 1\;ou\;x\leqslant -2\\ \text{Donc}\;\;& \boxed{S_\Bbb R=\left]{-\infty;-2}\right]\cup\left[{1;+\infty}\right[}\\ \end{align*}$$

b) $x^2-3=x^2-(\sqrt{3})^2$ $=(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$ $$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & -\sqrt{3} & & \sqrt{3} & & +\infty \\ \hline x-\sqrt{3} & & - & & - & 0 & + \\ \hline x+\sqrt{3} & & - & 0 & + & & + \\ \hline x^2-3& & + & 0 & - & 0 & + \\ \hline \end{array}$$ $\boxed{S_\Bbb R=\left]{-\infty;-\sqrt{3}}\right]\cup\left[{\sqrt{3};+\infty}\right[}$