Activités numériques II : Exercice 23 première année secondaire
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Exercice 23 --- (id : 1093)
correction
$A=2\sqrt{27}-2\sqrt{12}-\sqrt{3}+2$ et $B=\dfrac{\sqrt{35}\sqrt{24}}{\sqrt{21}\sqrt{10}}-\sqrt{3}$
1
$$\begin{align*}
A&=2\sqrt{27}-2\sqrt{12}-\sqrt{3}+2\\
&=2\sqrt{9\times 3}-2\sqrt{4\times 3}-\sqrt{3}+2\\
&=2\times 3\sqrt{3}-2\times 2\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\\
&=6\sqrt{3}-4\sqrt{3}-\sqrt{3}+2\\
&=\sqrt{3}+2=2+\sqrt{3}\\
\\
B&=\dfrac{\sqrt{35}\sqrt{24}}{\sqrt{21}\sqrt{10}}-\sqrt{3}\\
&=\dfrac{\sqrt{5\times 7}\sqrt{4\times 2\times 3}}{\sqrt{7\times3}\sqrt{5\times2}}-\sqrt{3}\\
&=\dfrac{\sqrt{5}\sqrt{7}\times2\sqrt{2}\sqrt{3}}{\sqrt{7}\sqrt{3}\sqrt{5}\sqrt{2}}-\sqrt{3}\\
&=2-\sqrt{3}
\end{align*}$$
2
$\dfrac{1}{A}=\dfrac{1}{2+\sqrt{3}}$ $=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$ $=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2^2-\sqrt{3}^2}=\dfrac{2-\sqrt{3}}{1}=2-\sqrt{3}=B$
3
$A^2+B^2=(2+\sqrt{3})^2+(2-\sqrt{3})^2$ $=4+3+4\sqrt{3}+4+3-4\sqrt{3}=14$
$\dfrac{B}{A}+\dfrac{A}{B}=\dfrac{B^2+A^2}{AB}$ $=\dfrac{14}{1}=14$ car ($B=\dfrac{1}{A}\Longrightarrow AB=1$)
$\dfrac{B}{A}+\dfrac{A}{B}=\dfrac{B^2+A^2}{AB}$ $=\dfrac{14}{1}=14$ car ($B=\dfrac{1}{A}\Longrightarrow AB=1$)
4
$A^{2018}B^{2019}=(AB)^{2018}\times B$ $=1^{2018}B=B$