Equations et inéquations : Exercice 20 première année secondaire
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Exercice 20 --- (id : 1603)
correction
On note $S_\Bbb R$ l'ensemble des solutions de l'équation ou l'inéquation donnée.
1)$\left|{-x+5}\right|=9$
$$\begin{align*}
&\left|{-x+5}\right|=9\\
&\text{équivaut}\;\; -x+5=9\; ou \; -x+5=-9 \\
&\text{équivaut}\;\; -x=9-5\; ou \; -x=-9-5 \\
&\text{équivaut}\;\; -x=4\; ou \; -x=-14 \\
&\text{équivaut}\;\; x=-4\; ou \; x=14 \\
&\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left\{{-4;14}\right\}}
\end{align*}$$
2)$\left|{x-8}\right|\geqslant 6$
$$\begin{align*}
&\left|{x-8}\right|\geqslant 6 \\
&\text{équivaut}\;\; x-8\geqslant 6\; ou \; x-8\leqslant -6 \\
&\text{équivaut}\;\; x\geqslant 6+8\; ou \; x\leqslant -6+8 \\
&\text{équivaut}\;\; x\geqslant 14\; ou \; x\leqslant 2 \\
&\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left[{14;+\infty}\right[\cup\left]{-\infty;2}\right]}
\end{align*}$$
3)$\left|{x+3}\right|-\left|{7-x}\right|=0$
$$\begin{align*}
&\left|{x+3}\right|-\left|{7-x}\right|=0 \\
&\text{équivaut}\;\; \left|{x+3}\right|=\left|{7-x}\right| \\
&\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{x+3=7-x}\\&{ou}\\&{x+3=-(7-x)}\end{aligned}}\right. \\
&\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{x+3=7-x}\\&{ou}\\&{x+3=-7+x}\end{aligned}}\right. \\
&\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{2x=4}\\&{ou}\\&{3=-7\;(impossible)}\end{aligned}}\right. \\
&\text{équivaut}\;\; 2x=4 \\
&\text{équivaut}\;\; x=\dfrac{4}{2}=2 \\
&\text{équivaut}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left\{{2}\right\}}
\end{align*}$$
4)$\left|{x+1}\right|\leqslant\left|{2x-4}\right|$
Rappel
Pour tous réels positifs x et y; $\;\;x\leqslant y\;\;\text{équivaut}\;\;x^2\leqslant y^2$ $$\begin{align*} &\left|{x+1}\right|\leqslant \left|{2x-4}\right| \\ &\text{équivaut}\;\; \left|{x+1}\right|^2\leqslant\left|{2x-4}\right|^2 \\ &\text{équivaut}\;\; \left({x+1}\right)^2\leqslant\left({2x-4}\right)^2 \\ &\text{équivaut}\;\; \left({x+1}\right)^2-\left({2x-4}\right)^2\leqslant 0\\ &\text{équivaut}\;\; \left[{(x+1)-(2x-4)}\right]\left[{(x+1)+(2x-4)}\right]\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; \left[{x+1-2x+4}\right]\left[{x+1+2x-4}\right]\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; \left({-x+5}\right)\left({3x-3}\right)\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{-x+5\leqslant 0}\\&{3x-3\geqslant 0}\end{aligned}}\right. ou \left\{{\begin{aligned}&{-x+5\geqslant 0}\\&{3x-3\leqslant 0}\end{aligned}}\right. \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{-x\leqslant -5}\\&{3x\geqslant 3}\end{aligned}}\right. ou \left\{{\begin{aligned}&{-x\geqslant -5}\\&{3x\leqslant 3}\end{aligned}}\right. \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{x\geqslant 5}\\&{x\geqslant 1}\end{aligned}}\right. ou \left\{{\begin{aligned}&{x\leqslant 5}\\&{x\leqslant 1}\end{aligned}}\right. \\ &\text{équivaut}\;\; x\geqslant 5\; ou \;x\leqslant 1 \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left]{-\infty;1}\right]\cup\left[{5;+\infty}\right[} \end{align*}$$
Pour tous réels positifs x et y; $\;\;x\leqslant y\;\;\text{équivaut}\;\;x^2\leqslant y^2$ $$\begin{align*} &\left|{x+1}\right|\leqslant \left|{2x-4}\right| \\ &\text{équivaut}\;\; \left|{x+1}\right|^2\leqslant\left|{2x-4}\right|^2 \\ &\text{équivaut}\;\; \left({x+1}\right)^2\leqslant\left({2x-4}\right)^2 \\ &\text{équivaut}\;\; \left({x+1}\right)^2-\left({2x-4}\right)^2\leqslant 0\\ &\text{équivaut}\;\; \left[{(x+1)-(2x-4)}\right]\left[{(x+1)+(2x-4)}\right]\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; \left[{x+1-2x+4}\right]\left[{x+1+2x-4}\right]\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; \left({-x+5}\right)\left({3x-3}\right)\leqslant 0 \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{-x+5\leqslant 0}\\&{3x-3\geqslant 0}\end{aligned}}\right. ou \left\{{\begin{aligned}&{-x+5\geqslant 0}\\&{3x-3\leqslant 0}\end{aligned}}\right. \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{-x\leqslant -5}\\&{3x\geqslant 3}\end{aligned}}\right. ou \left\{{\begin{aligned}&{-x\geqslant -5}\\&{3x\leqslant 3}\end{aligned}}\right. \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{x\geqslant 5}\\&{x\geqslant 1}\end{aligned}}\right. ou \left\{{\begin{aligned}&{x\leqslant 5}\\&{x\leqslant 1}\end{aligned}}\right. \\ &\text{équivaut}\;\; x\geqslant 5\; ou \;x\leqslant 1 \\ &\text{Donc}\;\; \boxed{S_\Bbb R=\left]{-\infty;1}\right]\cup\left[{5;+\infty}\right[} \end{align*}$$