Equations et inéquations : Exercice 14 première année secondaire

1) $$\begin{align*} &|2x-1|=|3x+4|\\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{2x-1=3x+4}\\&{ou}\\&{2x-1=-3x-4}\end{aligned}}\right. \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{2x-3x=4+1}\\&{ou}\\&{2x+3x=-4+1}\end{aligned}}\right.\\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{-x=5}\\&{ou}\\&{5x=-3}\end{aligned}}\right.\\ &\text{équivaut}\;\; \boxed{x=-5 \;  ou \; x=-\frac{3}{5}} \end{align*}$$

2) $\frac{x-1}{2x+3}=\frac{2x+3}{x-1}$  équivaut  $(x-1)^2=(2x+3)^2$ avec $x\neq1$ et  $x\neq -\frac{3}{2}$
$(x-1)^2=(2x+3)^2$  équivaut  $(2x+3)^2-(x-1)^2=0$  équivaut  $(2x+3+x-1)(2x+3-x+1)=0$  équivaut  $(3x+2)(x+4)=0$  équivaut  $3x+2=0$  ou  $x+4=0$  équivaut  $\boxed{x=-\frac{2}{3}  \ ou \ x=-4} $

3) $\sqrt{x^2-2x+1}=1$  équivaut  $\sqrt{(x-1)^2}=1$  équivaut  $|x-1|=1$ équivaut  $x-1=1$  ou  $x-1=-1$  équivaut $\boxed{x=2 \ ou \ x=0}$
Autrement
$x^2-2x+1=(x-1)^2\geqslant 0$
$\sqrt{x^2-2x+1}=1$  équivaut  $\sqrt{x^2-2x+1}^2=1^2$  équivaut  $x^2-2x+1=1$  équivaut  $x^2-2x=0$  équivaut  $x(x-2)=0$  équivaut  $x=0$  ou  $x-2=0$  équivaut  $\boxed{x=0 \ ou \ x=2}$

4)Remarque :

Pour tous réel x et a :
$x^2\pm ax=\left({x\pm \frac{a}{2}}\right)^2-\left({\frac{a}{2}}\right)^2$

$$\begin{align*} &x^2-6x+4=0\\ &\text{équivaut}\;\;  (x^2-6x)+4=0\\ &\text{équivaut}\;\; ((x-3)^2-3^2)+4=0\\ &\text{équivaut}\;\; (x-3)^2-5=0\\ &\text{équivaut}\;\; (x-3)^2-(\sqrt{5})^2=0\\ &\text{équivaut}\;\; (x-3-\sqrt{5})(x-3+\sqrt{5})=0\\ &\text{équivaut}\;\; x-3-\sqrt{5}=0\;  ou  \;x-3+\sqrt{5}=0\\ &\text{équivaut}\;\; \boxed{x=3+\sqrt{5} \; ou \; x=3-\sqrt{5}} \end{align*}$$