Equations et inéquations : Exercice 13 première année secondaire

1) $(x+1)(5x+2)$ $=5x^2+2x+5x+2$ $=5x^2+7x+2=A(x)$
Autrement $$\begin{align*} A(x)&=5\left({x^2+\frac{7}{5}x+\frac{2}{5}}\right)\\   &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\left({\frac{7}{10}}\right)^2+\frac{40}{100}}\right]\\ &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\frac{9}{100}}\right]\\ &=5\left[{\left({x+\frac{7}{10}}\right)^2-\left({\frac{3}{10}}\right)^2}\right]\\ &=5\left({x+\frac{7}{10}+\frac{3}{10}}\right)\left({x+\frac{7}{10}-\frac{3}{10}}\right)\\ &=5\left({x+1}\right)\left({x+\frac{2}{5}}\right)\\ &=(x+1)(5x+2) \end{align*}$$

2) $$\begin{align*} &🔶A(x)=2  \\ &\text{équivaut}\;\; 5x^2+7x+2=2 \\ &\text{équivaut}\;\;  5x^2+7x=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  x(5x+7)=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  x=0\;  ou \;5x+7=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  x=0\;  ou  \;x=-\frac{7}{5} \\ &🔶A(x)=-5x-2 \\ &\text{équivaut}\;\;  (x+1)(5x+2)+(5x+2)=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  (5x+2)\left[{(x+1)+1}\right]=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  (5x+2)(x+2)=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  5x+2=0\;  ou  \;x+2=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  x=-\frac{2}{5}\;  ou  \;x=-2 \\ &🔶A(x)=0  \\ &\text{équivaut}\;\;  (5x+2)(x+1)=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  5x+2=0\;  ou  \;x+1=0 \\ &\text{équivaut}\;\;  x=-\frac{2}{5}\;  ou  \;x=-1 \end{align*}$$

3) $$\begin{align*} &A(x)>0\;\; \text{équivaut}\;\;  (5x+2)(x+1)>0  \\ & 5x+2=0\;\; \text{équivaut}\;\;  x=-\frac{2}{5}  \\ & x+1=0\;\; \text{équivaut}\;\;  x=-1 \end{align*}$$ $$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  x & -\infty & & -1 & & -\frac{2}{5} & & +\infty  \\ \hline x+1 & & - & 0 &+ & &+  \\ \hline 5x+2 &  & -  &  &-  & 0 &+  \\ \hline  (5x+2)(x+1)  & & + & 0 &- & 0 &+  \\ \hline \end{array}$$ Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $A(x)>0$ est :
  $S_\Bbb R=\left]{-\infty;-1}\right[\cup\left]{-\frac{2}{5};+\infty}\right[$

4) $$\begin{align*} & 🔶A(x)+B(x)=0 \\ &\text{équivaut}\;\; (x+1)(5x+2)+(-3x-2)(5x+2)=0 \\ &\text{équivaut}\;\; (5x+2)\left[{(x+1)+(-3x-2)}\right]=0 \\ &\text{équivaut}\;\; (5x+2)(-2x-1)=0 \\ &\text{équivaut}\;\; 5x+2=0\;  ou  \;-2x-1=0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=-\frac{2}{5}\;  ou  \;x=-\frac{1}{2} \\ &A(x)+B(x)\leqslant 0\; \text{équivaut}\;\; (5x+2)(-2x-1)\leqslant 0 \\ \\ & 5x+2=0\;\; \text{équivaut}\;\; x=-\frac{2}{5} \\ & -2x-1=0\;\; \text{équivaut}\;\; x=-\frac{1}{2} \end{align*}$$ $$\def\arraystretch{1.5}\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline  x & -\infty & & -\frac{1}{2} & & -\frac{2}{5} & & +\infty  \\ \hline -2x-1 & &+& 0 &-& &-  \\ \hline 5x+2 &   &-&  &-& 0 &+  \\ \hline (5x+2)(-2x-1)& &-& 0 &+& 0 &-  \\ \hline \end{array}$$ Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation $A(x)+B(x)\leqslant 0$ est :  $S_\Bbb R=\left]{-\infty;-\frac{1}{2}}\right]\cup\left[{-\frac{2}{5};+\infty}\right[$