Activités numériques II : Exercice 10 première année secondaire

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Exercice 10 --- (id : 1312)

Activités numériques II: Exercice 10

correction

1)

a)

\sqrt{2}<2

donc

\sqrt{2}-2<0

d'où

\left|{\sqrt{2}-2}\right|=2-\sqrt{2}

3>\sqrt{2}

donc

3-\sqrt{2}>0

d'où

\left|{3-\sqrt{2}}\right|=3-\sqrt{2}

alors :

a=\left|{\sqrt{2}-2}\right|+\left|{3-\sqrt{2}}\right|-2

=2-\sqrt{2}+3-\sqrt{2}-2

=3-2\sqrt{2}

b=\left({1+\sqrt{2}}\right)^2

=1^2+2\times 1\times \sqrt{2}+\left({\sqrt{2}}\right)^2

=1+2\sqrt{2}+2

=3+2\sqrt{2}

b)

\begin{align*} ab&=\left({3-2\sqrt{2}}\right)\left({3+2\sqrt{2}}\right) \\ &=3^2-\left({2\sqrt{2}}\right)^2 \\ &=9-2^2\times \sqrt{2}^2=9-8=1 \\ \end{align*}

\begin{align*} &\frac{\left({a^{-2}b}\right)^2a^4}{a^{-3}b^{-1}} \\ &\;=\frac{a^{-4}b^2a^4}{a^{-3}b^{-1}} \\ &\;=a^{-4+4+3}b^{2+1} \\ &\;=a^3b^3=\left({ab}\right)^3 \end{align*}

c)

ab=1

donc

\frac{\left({a^{-2}b}\right)^2a^4}{a^{-3}b^{-1}}=\left({ab}\right)^3 =1^3=1

2)

a)

\begin{align*} X^2 &=\left({4-\sqrt{5}}\right)^2 \\ &=4^2-2\times 4\times \sqrt{5}+\sqrt{5}^2 \\ &=16-8\sqrt{5}+5 \\ &=21-8\sqrt{5} \\ Y^2 &=\left({2-\sqrt{5}}\right)^2 \\ &=2^2-2\times2\times\sqrt{5}+\sqrt{5}^2 \\ &=4-4\sqrt{5}+5 \\ &=9-4\sqrt{5} \end{align*}

b)

\begin{align*} &\sqrt{21-8\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}} \\ &=\sqrt{\left({4-\sqrt{5}}\right)^2}-\sqrt{\left({2-\sqrt{5}}\right)^2} \\ &=\left|{4-\sqrt{5}}\right|-\left|{2-\sqrt{5}}\right| \\ &=\left({4-\sqrt{5}}\right)-\left({\sqrt{5}-2}\right) \\ &=4-\sqrt{5}-\sqrt{5}+2=6-2\sqrt{5}       \end{align*}

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