L’algèbre discrète de la transformée de Fourier

Table des matières

I. Transformée de Fourier sur un groupe fini

1. Dual d’un groupe fini
2. Dual d’un groupe abélien
3. Dual d’un groupe non commutatif
4. Transformée de Fourier
5.Exercices

II. Applications de la dualité sur un groupe fini

l.Sommes de Gauss
2. Transformée de Walsh
3. FormuledePoisson
4. Exercices

III. Transformée de Fourier discrète

1. Le langage du traitement du signal
2. Transformée de Fourier rapide
3. Convolution circulaire
4. En dimension supérieure
5. Symétrie et transformée discrète
6. Exercices

IV. Applications de la transformée de Fourier discrète

1. Lien avec la transformée de Fourier sur R
2. Filtrage
3. Aspects géométriques du filtrage
4. Résolution numérique d’équations aux dérivées partielles
5.Calculs de produits
6. Exercices

V. Extension de la notion de transformée de Fourier

l. Transformée de Hartley
2. Transformée en Z et applications
3. Transformée en Z vectorielle
4. Transformée de Fourier fractionnaire
5.Exercices

VI. Transformée de Fourier à valeurs dans un corps fini

1. Calculs sur uncorps fini
2. Calculs sur un anneau
3. Application aux codes correcteurs
4. Codes correcteurs et dualité sur un groupe abélien fini
5.Exercices

VII. Représentations linéaires des groupes finis

1. Premières définitions
2. Invariance et représentations
3. Caractères
4. Représentations et dénombrement
5.Théorie de Fourier
6. Exercices

VIII. Applications des représentations linéaires

1. Représentation de groupes classiques
2. La questionde la simplicité
3. Analyse spectrale
4. Exercices.

Correction des exercices