Maths en pratique

Maths en pratique

A l'usage des étudiants Cours et Exercices

Table des matières

Chapitre 1. Ensembles, nombres et fonctions
1. Langage et notations pour utiliser les ensembles 1
2. Les nombres 3
3. Les fonctions 12
Transformation et itération 15
Changement de référentiel 24
Groupes de transformations 27
Exercices 30

Chapitre 2. Nombres complexes et polynômes
1. Les nombres complexes 35
2. Fonctions polynômes 43
Exercices 53

Chapitre 3. Dénombrement, permutations, graphes
1. Ensembles finis 57
Des dénombrements utiles 60
Probabilité binomiale et loi des grands nombres 67
Espérance et variance d’une variable aléatoire discrète 69
2. Permutations 70
3. Graphes 78
Arbre de recouvrement de poids minimal 80
Chemin de poids minimum d’un sommet à un autre 83
Le problème du flot maximum 86
Exercices 96

Chapitre 4. Équations linéaires et vecteurs
1. Vecteurs et combinaisons linéaires 101
2. Résolution des équations linéaires 107
3. Dimension d’un sous-espace vectoriel 115
4. Un exemple d’application 122
Exercices 125

Chapitre 5. Matrices et déterminants
1. Matrices 129
Matrices et systèmes linéaires 136
Le groupe affine 140
Exemple d’application : un intégrateur numérique 141
2. Déterminants 144
Polynôme caractéristique d’une matrice carrée 151
Applications des déterminants 153
Exercices 156

Chapitre 6. Espaces vectoriels et applications linéaires
1. Espaces vectoriels 161
2. Applications linéaires 167
3. Diagonalisation 173
4. Trigonalisation 179
5. Applications 182
Étude d’itérations linéaires 184
Suite de transitions probabilistes 188
Itérations affines commandables 190
Exercices 194

Chapitre 7. Espace hermitien, espace euclidien
1. Produit hermitien et produit scalaire 199
Sous-espace orthogonaux et projections 208
Une application : la méthode des moindres carrés 211
2. Matrices unitaires, matrices hermitiennes 213
3. Géométrie euclidienne 221
4. Application à l’analyse de données 229
Exercices 236

Chapitre 8. Des méthodes numériques
1. Norme et conditionnement d’une matrice 241
2. Résolution d’équations linéaires 246
Factorisation LU 246
Méthode de relaxation 248
3. Calcul de valeurs propres 255
Exercices 258

Chapitre 9. Limites, dérivées, intégrales
1. Rappels sur les limites 261
2. Ordres de grandeur 264
3. La dérivée 271
Comportement d’une fonction au voisinage d’un point 273
La différentielle 278
4. Fonctions continues 281
5. L’intégrale 284
Exercices 292

Chapitre 10. Utilisation de la dérivée et de l'intégrale
1. Étude des variations d’une fonction 297
2. Développements limités 300
3. Résolution d’équations par la méthode de Newton 307
4. Courbes paramétrées 310
Tangente, longueur, courbure 311
5. Calcul de primitives 317
6. Intégrales généralisées 323
7. Application aux probabilités 328
La loi normale 331
Exercices 337

Chapitre 11. Interpolation, calcul numérique d'intégrales
1. Interpolation polynomiale 343
Les polynômes de Lagrange 343
Interpolation par des fonctions splines 350
2. Calcul numérique d’intégrales 354
Exercices 357

Chapitre 12. Fonctions de plusieurs variables
1. Présentation 359
2. Normes et distances dans Rn 360
3. Dérivées partielles 362
4. Extremum local 373
Méthode du gradient 376
5. Extremum sous contraintes 377
Une application statistique : le krigeage 381
6. Intégrales à paramètre 386
7. Linéarisation locale d’une transformation 388
Exercices 392

Chapitre 13. Intégrales multiples
1. Notion d’intégrale multiple et méthode de calcul 397
2. Application aux probabilités 406
3. Produit de convolution 409
Exercices 411

Chapitre 14. Champ de vecteurs, formes différentielles
1. Champ de vecteurs 415
Champ de gradient 416
Rotationnel 418
Intégrale curviligne 423
2. Formule de Stokes 425
Applications 433
Exercices 437

Chapitre 15. Équations différentielles
1. Équations différentielles du premier ordre 440
Équations différentielles linéaires 443
Équations différentielles à variables séparées 446
2. Équations différentielles linéaires d’ordre 2 450
3. L’équation de Newton 460
4. Introduction au calcul des variations 466
Exercices 472

Chapitre 16. Systèmes différentiels
1. Systèmes différentiels linéaires 478
2. Système différentiel linéaire contrôlé 494
Commandabilité 495
Introduction au rétro-contrôle 496
3. Systèmes différentiels généraux 499
Linéarisation autour d’un équilibre 503
Fonction de Liapounov 507
Systèmes hamiltoniens 509
4. Dépendance par rapport à la condition initiale 511
5. Un exemple de prévision en épidémiologie 512
6. Étude du moteur électrique 514
7. Une méthode de résolution numérique 518
Exercices 521

Chapitre 17. Séries, séries entières, séries de Fourier
1. Séries numériques 527
2. Séries entières 533
Calculs de solutions d’équations différentielles 541
Un exemple de fonction génératrice 547
3. Décomposition de Fourier 548
4. Ondelettes de Haar 562
Application à la compression d’images 567
Exercices 569

Annexes 577
1. Fonction de Gauss 577
2. Fonctions de Bessel 577
3. Analyse de données 578

Index d'Algèbre 581
Index d'Analyse 585