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ANALYSE

COURS DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ANNÉE

Ce livre, orchestré par l’équipe Exo7, est issu d’un large travail collectif. Les auteurs sont :
Arnaud Bodin - Niels Borne - Marc Bourdon - Guoting Chen
Gilles Costantini - Laura Desideri - Abdellah Hanani - Jean-Louis Rouget

À la découverte de l’analyse
Les mathématiques, vous les avez bien sûr manipulées au lycée. Dans le supérieur, il s’agit d’apprendre à les construire ! La première année pose les bases et introduit les outils dont vous aurez besoin par la suite. Elle est aussi l’occasion de découvrir la beauté des mathématiques, de l’infiniment grand (les limites) à l’infiniment petit (le calcul de dérivée).
L’outil central abordé dans ce tome d’analyse, ce sont les fonctions. Vous en connaissez déjà beaucoup,
racine carrée, sinus et cosinus, logarithme, exponentielle... Elles interviennent dès que l’on s’intéresse à des phénomènes qui varient en fonction de certains paramètres. Position d’une comète en fonction du temps, variation du volume d’un gaz en fonction de la température et de la pression, nombre de bactérie en fonction de la nourriture disponible : physique, chimie, biologie ou encore économie, autant de domaines dans lesquels le formalisme mathématique s’applique et permet de résoudre des problèmes. Ce tome débute par l’étude des nombres réels, puis des suites. Les chapitres suivants sont consacrés aux fonctions : limite, continuité, dérivabilité sont des notions essentielles, qui reposent sur des définitions et des preuves minutieuses. Toutes ces notions ont une interprétation géométrique, qu’on lit sur le graphe de la fonction, et c’est pourquoi vous trouverez dans ce livre de nombreux dessins pour vous aider à comprendre l’intuition cachée derrière les énoncés. En fin de volume, deux chapitres explorent les applications des études de fonctions au tracé de courbes paramétrées et à la résolution d’équations différentielles.
Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d’abord comprendre le cours, ensuite connaître par cœur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement. Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions ! Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.
Alors n’hésitez plus : manipulez, calculez, raisonnez, et dessinez, à vous de jouer !

SOMMAIRE

1 Les nombres réels 1
1 L’ensemble des nombres rationnels Q . 2
2 Propriétés de R . 4
3 Densité de Q dans R . 8
4 Borne supérieure . 9

2 Les suites 15
1 Définitions . 15
2 Limites . 17
3 Exemples remarquables . 23
4 Théorème de convergence . 26
5 Suites récurrentes . 30

3 Limites et fonctions continues 37
1 Notions de fonction . 38
2 Limites . 42
3 Continuité en un point . 47
4 Continuité sur un intervalle . 51
5 Fonctions monotones et bijections . 55

4 Fonctions usuelles 59
1 Logarithme et exponentielle . 59
2 Fonctions circulaires inverses . 63
3 Fonctions hyperboliques et hyperboliques inverses . 66

5 Dérivée d’une fonction 69
1 Dérivée . 70
2 Calcul des dérivées . 73
3 Extremum local, théorème de Rolle . 77
4 Théorème des accroissements finis . 80

6 Intégrales 85
1 L’intégrale de Riemann . 87
2 Propriétés de l’intégrale . 93
3 Primitive d’une fonction . 95
4 Intégration par parties – Changement de variable . 100
5 Intégration des fractions rationnelles . 104


7 Développements limités 109
1 Formules de Taylor . 110
2 Développements limités au voisinage d’un point . 114
3 Opérations sur les développements limités . 117
4 Applications des développements limités . 122

8 Courbes paramétrées 127
1 Notions de base . 128
2 Tangente à une courbe paramétrée . 135
3 Points singuliers – Branches infinies . 140
4 Plan d’étude d’une courbe paramétrée . 147
5 Courbes en polaires : théorie . 153
6 Courbes en polaires : exemples . 158

9 Équations différentielles 165
1 Définition . 166
2 Équation différentielle linéaire du premier ordre . 168
3 Équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants . 174
4 Problèmes conduisant à des équations différentielles . 178

10 Leçons de choses 185
1 Alphabet grec . 185
2 Écrire des mathématiques : LATEX en cinq minutes . 186
3 Formules de trigonométrie : sinus, cosinus, tangente . 188
4 Formulaire : trigonométrie circulaire et hyperbolique . 193
5 Formules de développements limités . 195
6 Formulaire : primitives . 196

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