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ALGEBRE

COURS DE MATHÉMATIQUES
PREMIÈRE ANNÉE

Ce livre, orchestré par l’équipe Exo7, est issu d’un large travail collectif. Les auteurs sont :
Arnaud Bodin - Marc Bourdon - Benjamin Boutin
Sophie Chemla - Guoting Chen - Pascal Romon
Eva Bayer-Fluckiger - Philippe Chabloz - Lara Thomas

À la découverte de l’algèbre

La première année d’études supérieures pose les bases des mathématiques. Pourquoi se lancer dans une telle expédition ? Déjà parce que les mathématiques vous offriront un langage unique pour accéder à une multitude de domaines scientifiques. Mais aussi parce qu’il s’agit d’un domaine passionnant ! Nous vous proposons de partir à la découverte des maths, de leur logique et de leur beauté.
Dans vos bagages, des objets que vous connaissez déjà : les entiers, les fonctions... Ces notions en apparence simples et intuitives seront abordées ici avec un souci de rigueur, en adoptant un langage précis et en présentant les preuves. Vous découvrirez ensuite de nouvelles théories (les espaces vectoriels, les équations différentielles,...).
Ce tome est consacré à l’algèbre et se divise en deux parties. La première partie débute par la logique et les ensembles, qui sont des fondamentaux en mathématiques. Ensuite vous étudierez des ensembles particuliers : les nombres complexes, les entiers ainsi que les polynômes. Cette partie se termine par l’étude d’une première structure algébrique, avec la notion de groupe.
La seconde partie est entièrement consacrée à l’algèbre linéaire. C’est un domaine totalement nouveau pour vous et très riche, qui recouvre la notion de matrice et d’espace vectoriel. Ces concepts, à la fois profonds et utiles, demandent du temps et du travail pour être bien compris.
Les efforts que vous devrez fournir sont importants : tout d’abord comprendre le cours, ensuite connaître par cœur les définitions, les théorèmes, les propositions... sans oublier de travailler les exemples et les démonstrations, qui permettent de bien assimiler les notions nouvelles et les mécanismes de raisonnement.
Enfin, vous devrez passer autant de temps à pratiquer les mathématiques : il est indispensable de résoudre activement par vous-même des exercices, sans regarder les solutions. Pour vous aider, vous trouverez sur le site Exo7 toutes les vidéos correspondant à ce cours, ainsi que des exercices corrigés.
Au bout du chemin, le plaisir de découvrir de nouveaux univers, de chercher à résoudre des problèmes... et d’y parvenir. Bonne route !

SOMMAIRE

1 Logique et raisonnements 1
1 Logique . 2
2 Raisonnements . 6

2 Ensembles et applications 11
1 Ensembles . 12
2 Applications . 15
3 Injection, surjection, bijection . 17
4 Ensembles finis . 20
5 Relation d’équivalence . 27

3 Nombres complexes 31
1 Les nombres complexes . 31
2 Racines carrées, équation du second degré . 36
3 Argument et trigonométrie . 38
4 Nombres complexes et géométrie . 42

4 Arithmétique 45
1 Division euclidienne et pgcd . 45
2 Théorème de Bézout . 48
3 Nombres premiers . 51
4 Congruences . 54

5 Polynômes 59
1 Définitions . 59
2 Arithmétique des polynômes . 61
3 Racine d’un polynôme, factorisation . 65
4 Fractions rationnelles . 68

6 Groupes 71
1 Groupe . 71
2 Sous-groupes . 76
3 Morphismes de groupes . 77
4 Le groupe Z/nZ . 80
5 Le groupe des permutations Sn . 82


7 Systèmes linéaires 87
1 Introduction aux systèmes d’équations linéaires . 87
2 Théorie des systèmes linéaires . 91
3 Résolution par la méthode du pivot de Gauss . 93

8 Matrices 99
1 Définition . 99
2 Multiplication de matrices . 101
3 Inverse d’une matrice : définition .106
4 Inverse d’une matrice : calcul . 108
5 Inverse d’une matrice : systèmes linéaires et matrices élémentaires . 110
6 Matrices triangulaires, transposition, trace, matrices symétriques . 117

9 L’espace vectoriel Rn 123
1 Vecteurs de Rn . 123
2 Exemples d’applications linéaires . 126
3 Propriétés des applications linéaires . 132

10 Espaces vectoriels 137
1 Espace vectoriel (début) . 137
2 Espace vectoriel (fin) . 140
3 Sous-espace vectoriel (début) . 144
4 Sous-espace vectoriel (milieu) . 147
5 Sous-espace vectoriel (fin) . 150
6 Application linéaire (début) . 156
7 Application linéaire (milieu) . 158
8 Application linéaire (fin) .161

11 Dimension finie 167
1 Famille libre . 167
2 Famille génératrice . 171
3 Base . 173
4 Dimension d’un espace vectoriel . 178
5 Dimension des sous-espaces vectoriels . 182

12 Matrices et applications linéaires 187
1 Rang d’une famille de vecteurs . 187
2 Applications linéaires en dimension finie . 192
3 Matrice d’une application linéaire . 198
4 Changement de bases . 204

13 Déterminants 211
1 Déterminant en dimension 2 et 3 . 211
2 Définition du déterminant . 215
3 Propriétés du déterminant . 220
4 Calculs de déterminants . 224
5 Applications des déterminants . 229

Index