COURS DE MATHÉMATIQUES Maths sup - Analyse I

Table des matières

Chapitre 1. — Les nombres réels

• 1 .1 . Préambule
• 1 .2. Corps commutatifs totalement ordonnés
• • 1.2.1. Définition
  • 1.2.2. Majorant, plus grand élément
  • 1.2.3. Borne supérieure
  • 1.2.4. Isomorphismes de corps commutatifs totalement ordonnés
• • 1 .3. Nombre réels
  • 1.3.1. Existence et unicité de R
  • 1.3.2. Propriétés élémentaires des nombres réels
  • 1.3.3. Propriétés fondamentales de R
• 1.4. Droite numérique achevée R Compléments

Chapitre 2. —— Les nombres complexes

• 2.1 . Préambule
• 2.2. Corps des nombres complexes
• • 2.2.1. Définition
  • 2.2.2. Conjugaison, partie réelle, partie imaginaire
  • 2.2.3. Module
  • 2.2.4. Arguments
• 2.3. Interprétation géométrique des nombres complexes
• • 2.3.1. Plan complexe
  • 2.3.2. Interprétation géométrique de l‘addition dans C
  • 2.3.3. Interprétation géométrique de la multiplication dans C
  • 2.3.4. Applications z—> az + b
  • 2.3.5. CNS d'alignement de trois points du plan complexe
  • 2.3.6. CNS de cocyclicité ou alignement de quatre points du plan complexe
• 2.4. Puissances et racines
  • 2.4.1. Expérientielle d’un imaginaire pur
  • 2.4.2. Racines n-émes d’un complexe non nul
  • 2.4.3. Racines n-èmes de 1
  • 2.4.4. Groupe des racines n-èmes de 1
• 2.5. Applications trigonométriques des nombres complexes
  • 2.5.1. Développement de cos(px), sin(px) et tan(px)
  • 2.5.2. Linéarisation des exposants de cosinus et sinus
  • Compléments

Chapitre 3. — Suites numériques

• 3.1 . Convergence, divergence
  • 3.1.1. Définitions
  • 3.1.2. Propriétés d’ordre des suites réelles convergentes
  • 3.1.3. Propriétés al gébriques des suites convergentes
  • 3.1.4. Exemples élémentaires de suites
• 3.2. Monotonie
  • 3.2.1. Suites réelles monotones
  • 3.2.2. Suites adjacentes
• 3.3. Suites de Cauchy dans K
• 3.4. Suites extraites, valeurs d’adhérence
• 3.5. Quelques types usuels de suites
  • 3.5.1. Suites récurrentes affines du 1er ordre à coefficients constants
  • 3.5.2. Suites récurrentes linéaires du 2ème ordre à coefficients constants
  • 3.5.3. Suites récurrentes du type U_n+1= f(u_n)
• Compléments

Chapitre 4. — Topologie de R

• 4.1 . Vocabulaire de la topologie dans R
  • 4.1.1. Distance usuelle dans R
  • 4.1.2. Boules ouvertes, boules fermées
  • 4.1.3. Parties bornées, diamètre
  • 4.1.4. Voisinages
  • 4.1.5. Parties ouvertes de Pt
  • 4.1.6. Parties fermées de R
  • 4.1.7. Intérieur, adhérence, frontière
  • 4.1.8. Distance d‘un point à une partie non-vide de lit
  • 4.1.9. Points isolés, points d’accumulation
• 4.2. Compacité
  • 4.2.1. Théorème de Borel—Lebesgue
  • 4.2.2. Théorème de Bolzano—Weierstrass

Chapitre 5. — Fonctions réelles d’une variable réelle

• 5.1 . Algèbre des fonctions
  • 5.1.1. Algèbre R^x
  • 5.1.2. Relation d’ordre dans R^x
  • 5.1.3. Parité
  • 5.1.4. Périodicité
  • 5.1.5. Applications en escalier sur un segment
  • 5.1.6. Applications polynômiales. applications rationnelles
  • 5.1.7. Monotonie
  • 5.1.8. Applications majorées, minorées, bornées
• 5.2. Limites
  • 5.2.1 . Voisinages et adhérence dans R bar
  • 5.2.2. Notion de limite
  • 5.2.3. Ordre et limite
  • 5.2.4. Opérations algébriques sur les fonctions admettant une limite
  • 5.2.5. Cas des fonctions monotones
• 5.3. Continuité
  • 5.3.1. Définitions
  • 5.3.2. Opérations algébriqucs sur les applications continues
  • 5.3.3. Continuité sur un intervalle
  • 5.3.4. Continuité sur un compact
  • 5.3.5. Application réciproque
  • 5.3.6. Continuité unifonne
  • 5.3.7. Applications lipschitziennes

Chapitre 6. — Dérivation

• 6.1. Dérivées
  • 6.1.1. Dérivéc en un point
  • 6.1.2. Propriétés al gébriqnes des fonctions dérivables en un point
  • 6.1.3. Application dérivée
  • 6.1.4. Dérivées successives
  • 6.1.5. Classe d’une fonction
  • 6.1.6. Difiérentielle
• 6.2. Théorème de Rolle, théorème des accroissements finis
  • 6.2.1. Théorème de Rolle
  • 6.2.2. Théorème des accroissements finis
• 6.3. Variations des fonctions
  • 6.3.1. Etude de la monotonie pour une fonction dérivable
  • 6.3.2. Etude des extremums pour une fonction dérivable
• 6.4. Fonctions convexes
  • 6.4.1. Définition
  • 6.4.2. Utilisation de dérivées dans l’étude de la convexité
  • 6.4.3. Inégalités de convexité

Chapitre 7. — Intégration

• 7.1 . Intégration des applications en escalier sur un segment
  • 7.1.1. Algèbre des applications en escalier sur un segment
  • 7.1.2. Intégrale d‘une application en escalier sur un segment
• 7.2. Suites d’applications (ler étude)
  • 7.2.1. Convergence simple, convergence uniforme
  • 7.2.2. Approximation uniforme d’une application continue sur un segment par des applications en escalier
  • 7.2.3. Approximation uniforme d’une application continue sur un segment par des applications affines par morceaux et continues
• 7.3. Intégration des applications continues par morceaux sur un segment
  • 7.3.1. Algèbre des applications continues par morceaux sur un segment
  • 7.3.2. Intégrale d’une application continue par morceaux sur un segment
  • 7.3.3. Propriétés algébriques
  • 7.3.4. Propriétés relatives à l'ordre
  • 7.3.5. Relation de Chasles
  • 7.3.6. Sommes de Riemann
• 7.4. Intégration et dérivation
  • 7.4.1 . Intégrale fonction de la borne d’en haut
  • 7.4.2. Primitives
  • 7.4.3. Changement de variable
  • 7.4.4. Intégration par parties
  • 7.4.5. Formule de Taylor avec reste intégral