Integration - Analyse Hilbertienne

TABLE DES MATIERES

CHAPITRE 1 - MESURES, INTEGRATION

• 1.0 — Introduction
• 1.1 — Mesures et tribus
• I.2 — Ensembles µ-négligeables; ensembles µ-mesurables
• 1.3 — Intégration des fonctions positives
• 1.4 — Fonctions intégrables. Espaces l¹ et L¹
• 1.5 — L‘espace L¹
• 1.6 — Mesures produits. Théorème de Fubini
• 1.7 — Comparaison des intégrales de Riemann et de Lebesgue
• 1.8 — Images, densités, changements de variables
• 1.9 — Mesures de Radon
• 1.10 — Démonstrations de certains résultats du chapitre 1

CHAPITRE 2 - DÉFINITION ET PREMIÈRES PROPRIETES DES ESPACES HILBERTIENS

• 2.0 — Introduction
• 2.1 — Formes bilinéaires et sesquilinéaires. Espaces préhilbertiens
• 2.2 — Espaces hilbertiens. Exemples
• 2.3 — Opérations élémentaires sur les espaces hilbertiens
• 2.4 — Espaces de Sobolev à une variable

CHAPITRE 3 — PROJECTIONS, BASES, DUALITE, SERIES DE FOUR1ER, CONVERGENCE FAIBLE

• 3.0 — Introduction
• 3.1 — Théorème de la projection
• 3.2 — Suites orthogonales. Bases hilbertiennes
• 3.3 — Exemples de bases hilbertiennes
• 3.4 — Dualité
• 3.5 — Séries de Fourier
• 3.6 — Convergence faible

CHAPITRE 4 — OPERATEURS BORNES, SPECTRES, ADJOINTS.OPERATEURS DE HEBERT—SCHMIDT

• 4.0 — Introduction
• 4.1 — Généralités sur les opérateurs
• 4.2 — Opérateurs irreversible. Spectres
• 4.3 — Opérateurs adjoints, hennitiens, positifs, isométriques, unitaires; projecteurs
• 4.4 — Opérateurs de Hilbert-Schmidt

CHAPITRE 5 - OPERATEURS COMPACTS

• 5.0 — Introduction
• 5.1 — Définition et premières propriétés des opérateurs compacts
• 5.2 — Théorie spectrale des opérateurs compacts

CHAPITRE 6 - MÉTHODES VARIATIONNELLËS. APPLICATIONS.

• 6.O — Introduction
• 6.l -— Théorèmes de Stampacchia et de Lax-Milgram
• 6.2 — Application à certaines équations abstraites
• 6.3 — Application aux opérateurs différentiels à une variable (problème de Sturm-Liouville)

CHAPITRE 7 - OPÉRATEURS AUTOADJOINTS

• 7.O -— Introduction
• 7.1 — Généralités sur les opérateurs
• 7.2 — Théorème spectral et applications
• 7.3 — Formalisme de la mécanique quantique
• 7.4 -— Exemples d‘hamiltoniens de systèmes à une particule

Appendice : espaces de Sobolev

APPENDICE A — INDICATIONS POUR LA RÉSOLUTION DES EXERCICES

APPENDICE B — APERÇU HISTORIQUE

• B.1 — Topologie
• B.2 — Intégration
• B.3 — Espaces hilbertiens et analyse fonctionnelle

APPENDICE C - RAPPEL DE QUELQUES NOTIONS FONDAMENTALES DE TOPODOGIE

• C.l — Les espaces métriques et leurs topologies
• C.2 — Applications continues
• C.3 — Produits d'espaces métriques
• C.4 — Espaces métriques complets
• C.5 — Espaces vectoriels normés
• C.6 — Espaces métriques compacts
• C.7 - Espaces topologiques non métriques

APPENDICE D — RAPPELS CONCERNANT LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES

APPENDICE E — PRODUITS TENSORIELS

• E.O — Introduction
• E.1 — Définition et premières propriétés ,des produits tensoriels
• E.2 — Exemples
• E.3 —— Propriétés des produits tensoriels
• E.4 — Produits tensoriels symétriques et antisymétriques
• E.5 — Produits tensoriels d‘espaces hilbertiens