Éléments de géométrie

Table des matières

1. Rappels et compléments de calcul différentiel et intégral dans R^n

• 1.1 Différentiabîlité en un point, régularité C^r
• 1.2 Difféomorpbismes et inversion locale; immetsion et submersion
• 1.3 Points critiques, valeurs critiques, lemme de Sard
• 1.4 Lemme de Morse, singularités de Morse
• 1.5 Espaces tangent et cotangent à Rn en un point
• 1.6 Espaces tangent et cotangent à un ouvert de R^n
• 1.7 Le calcul extérieur sur un ouvert de R^n
• 1.8 Cohomologie de de Rhum d’un ouvert de R^n
• 1.9 Le calcul intégral dans un ouvert de R^n

2. Les variétés différentielles et leurs morphismes

• 2.1 Les concepts de variété de classe C^r et d’atlas
• 2.2 Le concept de “tangence”
• 2.3 Revêtements, structure de variété quotient

3. Sur quelques objets globaux associés à une variété différentielle

• 3.1 Un premier modèle de fibré: le fibré tangent
• 3.2 Le concept de fibré vectoriel
• 3.3 Le fibré cotangent, ses puissances extérieures
• 3.4 Partitionnement de l’unité
• 3.5 Le calcul extérieur et la cohomologie
• 3.6 Variétés orientables compactes et théorie du degré
• 3.7 Homologie singulière et théorème de de Rham

4. Propriétés topologiques et différentielles des courbes et des surfaces

• 4.1 Classification des courbes différentielles
• 4.2 Sur l’aspect local des courbes du plan ou de l’espace
• 4.3 Surfaces sous l’angle topologique
• 4.4 Les premiers concepts de la géométrie riemannienne
• 4.5 Aire, courbure, indices de champs de vecteurs

5. Des surfaces de Riemann aux courbes algébriques planes

• 5.1 La géométrie algébrique analytique
• 5.2 Initiation à la géométrie algébrique
• 5.3 Sur la géométrie des courbes projectives planes
• 5.4 Intersection de courbes projectives planes
• 5.5 Sur les espaces P(Sg) de courbes algébriques projectives planes

6. Annexe : solutions des exercices

• 6.1 Solutions des exercices du chapitre 1
• 6.2 Solutions des exercices du chapitre 2
• 6.3 Solutions des exercices du chapitre 3
• 6.4 Solutions des exercices du chapitre 4
• 6.5 Solutions des exercices du chapitre 5