Table des matières

I. DISTRIBUTIONS

1. Définitions et exemples

• 1.1 Espace des fonctions test D
• 1.2 Définition d’une distribution
• 1.3 Exemples de distributions
• 1.3.1 Fonctions localement sommables
• 1.3.2 Distribution de Dirac
• 1.3.3 Mesures
• 1.4 Quelques définitions et propriétés locales
• 1.5 Extension de l’espace D : espaces C, E et S
• 1.6 Exercices résolus
• 1.7 Exercices proposés

2. Dérivation des distributions

• 2.1 Définition et propriétés
• 2.2 Exemples
• 2.2.1 Dérivée de la fonction d’Heaviside
• 2.2.2 Dérivée de la distribution de Dirac
• 2.2.3 Dérivée d’une fonction discontinue
• 2.3 Extension au cas de plusieurs variables
• 2.4 Exercices résolus
• 2.5 Exercices proposés

3. Opérations élémentaires

• 3.1 Multiplication des distributions
• 3.2 Translation d’une distribution
• 3.3 Changement d’échelle
• 3.4 Transposée et parité d’une distribution
• 3.5 Exercices résolus
• 3.6 Exercices proposés

4. Convergence des distributions

• 4.1 Définitions et propriétés
• 4.2 Exercices résolus
• 4.3 Exercices proposés

5. Convolution

• 5.1 Produit tensoriel
• 5.2 Convolution des fonctions
• 5.3 Convolution des distributions
• 5.4 Algébre de convolution
• 5.5 Equation de convolution
• 5.5.1 Définitions et propriétés
• 5.5.2 Opérateurs différentiels à coefficients constants
• 5.5.3 Equations différentielles linéaires à. coefficients constants
• 5.6 Exercices résolus
• 5.7 Exercices proposés

II ANALYSE DE FOURIER

6. Séries de Fourier

• 6.1 Séries trigonométriques
• 6.2 Séries de Fourier, Théorème de Dirichlet
• 6.3 Cesaro, Fejér, Jordan et Weierstrass
• 6.4 Egalité de Parseval et inégalité de Bessel
• 6.5 Séries de Fourier des distributions
• 6.6 Exercices résolus
• 6.7 Exercices proposés

7 Transformée de Fourier

• 7.1 Transformée de Fourier dans L1
• 7.2 Transformée de Fourier dans S
• 7.3 Transformée de Fourier des distributions
• 7.4 Transformée de Fourier dans L2
• 7.5 Transformée de Fourier à. plusieurs variables .
• 7.6 Exercices résolus
• 7.7 Exercices proposés

III TRANSFORMATION DE LAPLACE

8 Transformée de Laplace

• 8.1 Transformée de Laplace des fonctions
• 8.2 Transformée de Laplace des distributions
• 8.3 Applications
• 8.3.1 Equations différentielles
• 8.3.2 Résolution des équations de convolution
• 8.3.3 Résolution des équations intégrales
• 8.3.4 Etude de la stabilité de quelques systèmes non-linaires
• 8.4 Exercices résolus
• 8.5 Exercices proposés

9. Appendice

• 9.1 Eléments de topologie
• 9.2 Mesure et intégrale de Lebesgue

Bibliographie

Index